أساسيات النظم الرقمية

أساسياتالنظم الرقمية 97 14 6 13 13 4 5 مثال نفذ عملية الطرح على الأعداد الثمانية التالية 5 7 3 5 6 - 7 - 5 5 5 66 6 7 0 2-9-3 عملية الضرب Multiplication وهو جمع متكرر ويمكن التعامل معه عبر حساب ناتج ضرب الرقمين وفقاً للنظام العشري ثم تحويل الناتج إلى النظام الثماني، فمثلاً نقول في النظام العشري أن 21=3×7 لكن العدد21 العشري يكافئه 25 في النظام الثماني وبالتا25=3×7 في النظام الثماني وهكذا مثال أوجد حاصل ضرب الأعداد الثمانية التالية: 8(726 )8(3) 726 ×3 2602 الناتج8(2602)= 8(726 × )8(3 ) 2-9-4 عملية القسمة Division وهي أيضا عبارة طرح متكرر (والطرح بدوره كما ذكرنا يؤول إلى جمع مع المتمم(، كما ويمكن إجراء القسمة في النظام الثماني بالطريقة الجبرية مع الأخذ بعين الاعتبار القيم الفعلية للأعدّاد الثمانية ومراعاة أصول عملية الضرب (للنظام الثماني(. مثال نجد في النظام الثماني أن 5=4/24 (يقابل ذلك في النظام العشري 5=4/20). ويمكن باستخدام الطريقة التقليدية مثال أوجد ناتج قسمة الأعداد الثمانية التالية: 8(2602) على8(3) ننفذ عملية القسمة العاديةكما في النظام العشري كما يلي:

أساسياتالنظم الرقمية 98 0726 2602 3 - 25 010 - 6 22 - 22 00 الناتج8(726)= 8(3 ÷ )8(2602 ) 2-10 نظام العد الست عشري Hexadecimal System هو نظام عددي قاعدته مؤلفة من ستة عشر عنصراً (r=16)، والعنصر يقصد به رمز معين رقمي numeric، أو حرفي alphabetic characters ولترميز هذه العناصر الست-عشرة نستخدم الأرقام العشرة المعروفة في النظام العشري، ونحتاج لستة رموز أخرى للتعبير عن بقية عناصر القاعدة الأساسية للنظام، وقد اصطلح على استخدام الحروف الستة الأولى من الأبجدية اللاتينية، فتكون قاعدة النظام الست عشري هي: {0 A,، B،C،D،E،F.} وعندما نرى عدداً ست عشر ي فينبغي أن نتوقع إمكانية أن يتضمن الرموز العشرية أو أحد هذه الحروف الستة. وفي الحقيقة فإن الحروف الستة ينبغي أن تكون بشكلها الكبير نظراً لعدم الالتباس. مع رقم ست عشري واحد يمكن أن تعد حتى 16F الذي يقال16 عشري، ومع رقمين يمكن أن نعد ح 16FF وال تقابل 255 عشري، ومع ثلاثة أرقام يمكن أن نعد ح 16FFF التي تقابل65536. في الواقع فإن النظام الست عشري يستخدم بشكل فعال في الحاسب لأنه يسهل استخراجه من التوضعات الثنائية في ذاكرة الحاسب، وفائدته أنه يستوعب قيماً عددية أكثر من النظم الأخرى . الاستخدام الأساسي للنظام الست عشر ي أنه يعتبر طريقة لعرض أو كتابة الأرقام الثنائية ، ولذلك لسهولة التحويل بينهما، وهو مستخدم بشكل كبير في تطبيقات الحواسيب والمعالجات، فمعظم النظم الرقمية تعالج البيانات الثنائية في مجموعات التي هي من مضاعفات أربع بت، مما يجعل الأرقام الست عشرية مريحة للغاية في التعامل فكل كل رقم ست عشري يمثل رقم ثنائي 4 بأربع خانات ثنائية4 بت. بعد أن تعرفنا على قاعدة الأرقام الأساسية لهذه النظم العددية فمن الضروري معرفة كيفية كتابة الأرقام القاعدية للنظم العددية، كما في الجدول (2-3) الأرقام من1 ~16 عشريا مع مكافئها من الأنظمة الثلاثة، وقد ظللنا عمود الأرقام القاعدية لكل نظام عددي).

أساسياتالنظم الرقمية 99 عشري ست عشري ثماني ثنائي 0 0 0 0000 1 1 1 0001 2 2 2 0010 3 3 3 0011 4 4 4 0100 5 5 5 0101 6 6 6 0110 7 7 7 0111 8 8 10 1000 9 9 11 1001 10 A 12 1010 11 B 13 1011 12 C 14 1100 13 D 15 1101 14 E 16 1110 15 F 17 1111 16 10 20 10000 الجدول (2-3) الأرقام من1 ~16 عشريا ممثلة بالأنظمة الثنائي والست عشري والثما ملاحظة: أي عدد ينتمي إلى قاعدة نظامين عددين أو أكثر فإن قيمته هي نفسها في جميع النظم العددية.أي أن: 0)2 = (0)8 = (0)10 = (0)16 (1)2 = (1)8 = (1)10 = (1)16 (7)8 = (7)10 = (7)16 (9)10 = (9)16 مثال1: إ أي نظام عددي ينتمي العدد التالي 1001010 الحل: "لا نعلم"، فقد يكون عددا ثنائياً أو عددا ثمانياً أو عددا عشرياً أو عدداً ست عشرياً أو عدداً من أي نظام عددي آخر. فإذا كان يقصد به عدد ثنائي فهو ما يعادل العدد العشري 74، وإذا كان يقصد به عدد ثماني فهو يكافئ العدد العشري 262664، وإذا كان يقصد به عدد عشري فهو العدد "مليون وألف وعشرة "، وإذا كان يقصد به عدد ستاعشري فهو ما يعادل العدد العشري 16781328 .إذن لا بد من تحديد النظام العددي الذي يتم تمثيل العدد به، ولذلك ينبغي وضع دليل جانبي صغير يحسم التساؤل.

أساسياتالنظم الرقمية 100 مثال2: العدد5A1 هو عدد ست عشري حتماً ولا يمكن أن يكون عشرياً ولا ثمانياً ولا ثنائياً ، وذلك لاحتوائه على الرموز. 2-11 تحويل الأعداد بين النظامين الست عشري والعشري Numbers Conversion Between Hexadecimal and Decimal Systems معرفة قيمة العدد الست عشري في النظام العشري نعتمد القواعد العامة الأربعة نفسها المذكورة في النظام الثنائي، لكن مع الأخذ بعين الاعتبار أن عدد عناصر قاعدة النظام الست عشري هي ستة عشر. 2-11-1 تحويل العدد من النظام الست عشري إلى النظام العشري Conversion Hexadecimal to Decimal نأخذ كل رقم من العدد الست عشري ونضربه بالعدد 16 مرفوعاً لقوة تساوي مرتبة الرقم مطروحاً منها العدد واحد، ثم نجمع النواتج، فنحصل على العدد العشري المكافئ للعدد الست عشري . مثال لحساب قيمة العدد الست عشري 3DA نكتب =2 +3 x161+Dx160=Ax1616 (3DA) 10x1+13 x16+3 x256 =(986)10 مثال حول العدد 16(3AF2) إلى مكافئه العشري =3+2 x16 2 +A x161 +Fx160 =3x16 16(3AF2) 3x1 +15 x 16+10 x 256 +2 4096=(986)10 2-11-2 تحويل العددمن النظام العشري إلى النظام الست عشري Decimal to Hexadecimal Conversion تحويل الجزء الصحيح من أجل التحويل نقسّ م العدد العشري على العدد 16 ونكرر قسمة الناتج مراراً ، آخذين في كل مرة باقي القسمة Remainder (مقيم إياه حسب النظام الست عشري(، مرتبين البواقي من اليمين إلى اليسار تبعاً لتسلسل الحصول عليها. مثال حول العدد العشري 650 إلى مكافئه بالنظام الست عشري

أساسياتالنظم الرقمية 101 لتحويل العدد العشري 650 إ النظام الست عشري نجري عمليات القسمة على 16 حيث نأخذ بواقي القسمةhexadecimal Remainder بالتسلسل بدء من أول باق وهو العدد عشرة والذي يكتب بالست عشري A، ثم العدد 8، ثم بعد ذلك العدد 2، ومن ثم نرتبهم من الأسفل إلى الأعلى ومن اليمين إلى اليسار، ونتوقف عندما ناتج القسمة يساوي الصفر0 كما هو موضح فنحصل على العدد 28A ويكون 16=(28A)10(650) مثال لتحويل العدد العشري 1000 إ النظام الست عشري نجري عمليات القسمة على 16 حيث نأخذ بواقي القسمة بالتسلسل بدءاً من أول باق وهو العدد ثمانية، ثم العدد 14 لكنهنا ننبه إلى أن العدد 14 لا يؤخذ كما هو، وإنما يؤخذ بشكله في النظام الست عشري أي الحرف E،ومن بعد ذلك نأخذ باقي القسمة التالي (و هو الأخير( والذي هو أصغر من قاعدة النظام، كما يلي: فنحصل على العدد 3E8 ويكون 16=(3E8)10(1000) الباقي قاعدة النظام المقسوم 8=62×16-1000 16 1000 14=3×16-62 16 62 3=0×16-3 16 3

أساسياتالنظم الرقمية 102 تحويل الجزء الكسري لتحويل عدد كسري ست عشري إلى النظام العشري نضرب العدد العشري بالعدد 16 ونقتطع منه الجزء الناتج يسار الفاصلة (مقيمين إياه حسب النظام الست عشري )، واضعين إياه في المرتبة الأولى يمين الفاصلة لتشكيل العدد الست عشري، ونكرر العملية حتى يصبح ما يبقى يمين الفاصلة من العدد العشري كله أصفاراً . مثال العدد العشري 0.640625 يحول إلى النظام الست عشري بأن نضربه بالعدد 16 فنحصل على10.2500 نقتطع الجزء الصحيح منه وهو 10 ونقيمه في النظام الست عشري وهو الحرف A فنضعه في المرتبة الأولى يسار الفاصلة0.A، يتبقى من العدد العشري القيمة 0.25،فنعيد الضرب بالعدد 16 فنحصل على 4.00. نقتطع الرقم الظاهر يسار الفاصلة وهو 4 وتقيمه في النظام الست عشري فيبقى نفسه، ونضعه في المرتبة التالية فنحصل على 4 0. A،وبعد اقتطاع هذا الرقم نلاحظ أن ما تبقى من العدد العشري هو الصفر، وبالتالي تنتهي عملية التحويل، وبالتالي دائما نكمل حتى يتبقى من العدد العشري بعد اقتطاع الجزء الصحيح الصفر، أو حسب عدد الخانات العشرية المطلوب. 10.250.920=16×0.640625 4.00=16×0.250 نكتب الناتج من الأسفل إلى الأعلى ومن اليسار إلى اليم0.640625)10=(0.A4)16 2-11-3 التحويل من النظام الست عشري إلى النظام الثنائي Hexadecimal to Binary Conversion لتحويل العدد بالنظام الست عشري إ مكافئه الثنائي، نتبع التالي: 1. نستبدل كل الخانات المكتوبة بدلالة الحروف في النظام الست عشري إن وجدت لأعداد العشرية المكافئة لها. 2. نستبدل كل عدد عشري بمكافئه الثنائي المكون من أربع خانات 3. نضم الأرقام الثنائية مع بعضها البعض نحصل على العدد المطلوب مثال حول العدد الست عشري 16(D39A) إلى مكافئه الثنائي A 9 3 D 10 9 3 13 1010 1001 0011 1101

أساسياتالنظم الرقمية 103 نضم الارقام الثنائية مع بعضها البعض لنحصل على العدد المطلوب ونكنتب 2(1101001110011010)= 16(D39A) مثال حول الأعداد الست عشرية التالية إلى مكافئها الثنائي يمكن أن نحول عدد من النظام الست عشري إلى النظام العشري، بأنه نحوله أولاً إلى الثنائي ومن ثم من الثنائي إلى العشري، والمثال التالي يوضح ذلك. مثال حول الأعداد الست عشرية التالية إلى النظام العشري بأن تستخدم النظام الثنائي كوسيط. 2-11-4 التحويل من النظامالثنائي إلى النظام الست عشري Binary to Hexadecimal Conversion لتحويل العدد الصحيح الثنائي إلى مكافئه بالنظام الست عشري نتبع الخطوات التالية 1. نقسم العدد الثنائي إلى مجموعات كل منها مكون من أربع خانات، حيث يبدأ التقسيم من الخانة الأقل أهمية LSB. 2. إذا كانت المجموعة الأخيرة غير مكتملة نضيف في نهايتها أصفار حتى تصبح مكونة من أربع خانات 3. نستبدل كل مجموعة ثنائية بمكافئها بالنظام العشري. 4. نستبدل كل رقم عشري أكبر من 9 بدلالة حروف النظام الست عشري

أساسياتالنظم الرقمية 104 5. نضم الأرقام الست عشرية معاً للحصول على العدد المطلوب 6. في حالة العدد الثنائي الكسري نبدأ التقسيم إلى مجموعات من الخانة القريبة من الفاصلة مثال حول العدد الثنائي 2(101001101101111001101) إلى مكافئهالست عشري 1101 1100 1011 1101 0100 0001 13 12 11 13 4 1 D C B D 4 1 نكتب16(14DBCD)= 2(101001101101111001101) مثال حول العدد الثنائي إلى مكافئه الثماني 2-11-5 التحويلبين النظام الثماني و النظام الست عشري Conversion Between Octal and Hexadecimal لتحويل أي عدد من النظام الست عشري إلى النظام الثماني، نقوم أولاً بتحويله إلى النظام الثنائي، ومن ثم نقوم بتحويله من النظام الثنائي إلى النظام الثماني. ويتم ذلك بالعكس إذا أردنا التحويل من النظام الثماني إلى النظام الست عشري، نقوم باستخدام النظام الثنائي كوسيط نحول له أولاً، ومن ثم نحول إلى النظام الثنائي إلى النظام الست عشري.

أساسياتالنظم الرقمية 105 2-12 العمليات الحسابية في النظام الست عشر ي Hexadecimal Arithmetic 2-12-1 عملية الجمع Addition ينبغي الانتباه في هذا النظام إلى أنه إذا كان مجموع الرقمين أقل من ستة عشر فإنه يمثل برمز واحد فمثلاً نجد أن A=1+9 ولا نكتب 1+9=10، وكذلك فإن B+3=E وهكذا والعملية المحورية في هذا النظام هي العملية: F+1=10 وعندما يكون مجموع رقمين ستاعشريين أكثر أو يساوي 16 فإننا نلجأ إلى هذه القاعدة، على غرار ما فعلنا في النظام الثماني. مثال لحساب قيمة مجموع D+7 نجري العملية كما يلي إن قيمة D هي13 فهي تحتاج للرقم ثلاثة لكي تصبح ستة عشرة لذلك نجزء الرقم 7 كما يلي: 7=3+4 ونكتب14=7+D 14=4+10=4(+3+D(=)4+3+)D=7+D وهكذا من أجل جمع أي عددين ست عشريين فإننا نجمع أرقامهما بالطريقة نفسها. يمكن إجراء عملية الجمع كما بالطريقة الجبرية العادية كما في المثال التالي. مثال اجمع الأعداد الست عشرية التالية: مثال اجمع الأعداد الست عشرية التالية:

أساسياتالنظم الرقمية 106 2-12-2 عملية الطرح Subtraction يمكن إجراء عملية الطرح بمساعدة مفهوم المتمم الأحادي للعدد الست عشري ، مع الأخذ بعين الاعتبار أن المتمم الأحادي يكون ذلك العدد الذي يكون ناتج جمعه مع العدد الأساسي هو عدد كل خاناته مؤلفة من الحرف F. مثال لطرح العدد 6A من العدد5DC نأخذ العدد المطروح ونتممه مرتبة بإضافة الصفر نحو اليسار فنحصل على 06A،وبالتالي فإن متممه الأحادي هو F95، نضيف له العدد واحد فنحصل على F96 نجمع هذا العدد مع المطروح منه فنحصل على: 5DC+F96=1572،نحذف الواحد الظاهر أقصى اليسار فنحصل على 572، إذن5DC-6A=572 ملاحظة يمكن إجراء عملية الطرح بالطريقة الجبرية حيث تتم الاستعارة من مراتب لاحقة في حال كون الرقم المطروح أكبر من المطروح منه ولكن يجب الانتباه إلى أن الواحد المستعار من مرتبة لاحقة تكون قيمته ستة عشرة (وليس عشرة). مثال اطرح الأعداد الست عشرية التالية: 8BE AED - 7DF - 826 0DF 27C 3-12-2 عملية الضرب Multiplication وهو جمع متكرر ويمكن التعامل معه عبر حساب ناتج ضرب الرقمين وفقا للنظام العشري ثم تحويل الناتج إلى النظام الست عشري فمثلا نعلم أن العشرة في النظام الست عشري هي A، وبالتالي فإنA×A هو العدد مئة في النظام العشري نحوله إلى الست عشري فنحصل على 64 وبالتا 64=A×A وهكذا بالنسبة لبقية الأرقام. ويمكن باستخدام الطريقة التقليدية. مثال أوجد حاصل ضرب الأرقام الست عشرية التالية: A14 ×5 3264 الناتج16(3264)= 16(A14 × )16(5 )

أساسياتالنظم الرقمية 107 2-12-4 عملية القسمة Division وهي أيضا عبارة طرح متكرر ويمكن إجراؤها في النظام الست عشري جبريا مع الأخذ بعين الاعتبار القيم الفعلية للأعدّاد الست عشرية ومراعاة أصول عملية الضرب كما مر أعلاه. فمثلا لقسمة العدد الست عشري 64 على العدد خمسة نعلم من النظام العشري أن الناتج هو العدد العشري 20 وهو يكتب في النظام الست عشري 14 وبالتا14=5/64 ويمكن باستخدام الطريقة التقليدية مثال أوجد ناتج قسمة الأعداد الثمانية التالية: 16(3264) على16(5) 0A14 3264 5 - 32 006 - 5 14 - 14 00 الناتج16(A14)= 16(5 ÷)16(3264) ملاحظة يمكن إجراء عملية الضرب أو القسمة بتحويل الأعداد المراد ضربها أو قسمتها إلى مكافئها الثنائي أو العشري واجراء العملية المطلوبة، ومن ثم تحويل الناتج إلى مكافئه الست عشري . نتيجة 1 :إذا كان العدد منتهي المراتب في النظام الثنائي فهو منتهي المراتب في النظام الثماني. وفي النظام الست عشري وبالعكس. نتيجة 2: إذا كان لدينا عدد ثماني عدد مراتبه n فعندتحويله إلى عدد ثنائي فإن العدد الثنائي، سيشغل عدداً من المراتب نرمز له m وهو يحقق العلاقة: 1+3n>m(>1-n)3 ، وبدقة سيكون عدد خاناته مساوياً للقيمة1-n)3 مضافاً إليها عدد الخانات الفعلية للرقم الثماني الأخير من جهة اليسار.

أساسياتالنظم الرقمية 108 نتيجة3: إذا كان لدينا عدد ست عشري عدد مراتبه n فعند تحويله إلى عدد ثنائي فإن العدد سيشغل عدداً من المراتب نرمز له m وهو يحقق العلاقة: 1+4n>m(>1-n)4، وبدقة سيكون عدد خاناته مساوياً للقيمة1-n)4 مضافا إليها عدد الخانات الفعلية للرقم الست عشري الأخير من جهة اليسار. نتيجة 4: كلما كبرت قاعدة النظام العددي كلما أمكن تمثيل العدد بمراتب أقل نتيجة 5: لمقارنة أي عددين في نظام عددي محدد يكون العدد الأكبر هو العدد الذي مراتبه الصحيحة أكثر، فإذا تساوت المراتب نقارن رقماً برقم اعتباراً من أقصى اليسار، فأول مرة نجد في أحدهما رقما أكبر من مقابله بالمرتبة يكون ذلك هو العدد الأكبر، إذا كانت جميع الأرقام في المراتب الصحيحة متساوية نتابع على نفس المبدأ إلى ما بعد الفاصلة. نتيجة 6: للتحويل بين النظام الثماني والست عشري يمكن أن نحول العدد إلى النظام الثنائي و من ثم نعيد تحويله إلى النظام المطلوب. 3- تمثيلالأعداد بواسطة الفاصلة العائمة Representation of Numbers by Floating Point لتمثيلالأعداد الصحيحة الكبيرة نحتاج الى العديد من الخانات الثنائية (البتات)، وهناك مشكلة إذا كان العدد يحتوي على قسم كسري، نظام العدد ذو الفاصلة العائمة يعتمد على الترميز العلمي، وهو قادر على تمثيل الأعداد الكبيرة جداً ، والصغيرة جداً والتي تحتوي قسم كسري بدون زيادة في عدد الخانات الثنائية. العدد ذو الفاصلة العائمة floating-point number يتألف من قسمين بالاضافة إلى الاشارة، القسم الكسري mantissa يكون القسم الذي يمثل مقدار العدد ويكون ب0 و1،والأس exponent يكون القسم الذي يمثل عدد المواضع التي تتحركها الفاصلة العشرية (أو الفاصلة الثنائية). على سبيل المثال العدد العشري 241,506,800 القسم العشريmantissa يكون2415068 الأسexponent يكون9 عندما نريد أن نعبر عن العدد الصحيح كرقم ذو فاصلة عائمة يجب نقل الفاصلة العشرية إلى اليسار عبر كل الأرقام بحيث يكون القسم العشري يكون رقم كسري، والأس يكون من قوى العشرة.

أساسياتالنظم الرقمية 109 العدد ذو الفاصلة العائمةيكتب: 910×0.2415068 نلاحظ أن موقع الفاصلة داخل العدد غير ثابت (عائم) ويعتمد على الأس المرفوع له أساس نظام العد، ويمكن اعتبار أي عدد ممثل بواسطة الفاصلة العائمة منسجماً مع الشكل التالي: p-+E×M+- حيث M الجزء الكسري من العدد E أساس نظام العد P الأس يشترط في العدد الممثل بواسطة الفاصلة العائمة ألا يكتب على شكل عدد صحيح وألا يكون أول رقم فيه على يمين الفاصلة صفراً. تم تعريف تنسيط دقة وشكل الرقم الثنائي الممثل بواسطة الفاصلة العائمة من قبل المعهد الوطني الأمريكي للمعايير Institute Standards National anAmeric The )ANSI(،ومعهد مهندسي الك هرباء والاكترون الأمريكي Institute of Electrical and Electronic Engineers (IEEE) في ثلاث أشكال - أرقام ذات فاصلة عائمة أحادية الدقة Single-precision floating-point numbers بـــ32 خانة ثنائية - أرقام ذات فاصلة عائمة مضاعفة الدقة double-precision numbers بـــ64 خانة ثنائية - أرقام ذات فاصلة عائمة موسعة الدقة extended-precision numbers بـــ80 خانة ثنائية سنركز دراستنا على الأرقام ذات الدقة الأحادية. 3-1 الأرقام الثنائية الممثلة بواسطة الفاصلة العائمة ذات الدقة الأحادية Single-Precision Floating-Point Binary Numbers في الشكل القياسي من الرقم الثنائي الممثلة بواسطة الفاصلة العائمة ذات الدقة الأحادية الذي يتألف من32 خانة كما هو موضح في الشكل (8-3)،تكون على كما يلي: - خانة الإشارة ( S) تكون في أقصى اليسار.

أساسياتالنظم الرقمية 110 - الاسE) تكون الخانات الثمانية التالية. - والقسم الكسري أو ( F) يتضمن23 خانة المتبقية الشكل (8-3) الأرقام الثنائية الممثلة بواسطة الفاصلة العائمة ذات الدقة الأحادية في القسم الكسري الفاصلة الثنائية تكون في أقصى يسار 23 خانة، ويوجد 24 خانة في القسم الكسري لأن أي رقم ثنائي الخانات في أقصى اليسار دائما 1. لذلك هذا الواحد 1 يفهم على أنه موجود هناك مع أنه لا يحسب من مواقع الخانة الفعلية. الخانات الثمانية للأس يعبر عنها كأس محيز a biased exponent الذي نحصل عليه باضافة127 للأس الفعلي، الهدف من هذا الانحياز أن نسمح للأعدّاد الصغيرة جداً ، والكبيرة جدا أن تمثل بدون موقع لخانة الاشارة للأس، الأس المنحاز يسمح بمجال قيم للأس الفعلي من -126 إ128. مثال ليكن لدينا العدد الثنائي التالي ونريد تمثيله كعدد ذو فاصلة عائمة بدقة أحادية. 122×1011010010001= 1.011010010001 بافتراض أن العدد موجب، بالتالي خانة الاشارة تكون 0، الأس يكون12، ويعبر عنه كأس منحاز باضافة 127 الشكل التالي (12+127=139). وبعبر عنه كرقم ثنائي 10001011). القسم الكسري من العدد يكون 011010010001) بالتا يمكن أن نعبر عن العدد باستخدام الفاصلة العائمة كما في الشكل (9-3:) الشكل9-3) تمثيل العدد الثنائي ذو الفاصلة العائمة احادية الدقة

أساسياتالنظم الرقمية 111 4- الأرقام المؤشرةSigned Numbers الرقم الثنائي المؤشرة Signed Binary Number هو الرقم الذي يتألف من معلومات عن الإشارة وعن المقدار، الإشارة تشير فيما إذا كان الرقم موجب أو سالب، والمقدار يشير إلى قيمة العدد، وهناك ثلاث طرق لتمثيل الأرقام المؤشرة الثنائية، الإشا ر ة والمقدار sign-magnitude كما في الشكل10-3)، المتمم الأحادي1’s complement، المتمم الثنائي 2’s complement. الأكثر أهمية هي المتمم الثنائي، والأقل استخداماً هي طريقة الإشارة والمقدار. تناولنا سابقاً طرق المتممات وسنعرض طريقة الإشارة والمقدار. الشكل (10-3) رقم ثنائي ممثل بطريقة الإشارة والمقدار 4-1 الإشارة والمقدار Sign-Magnitude يمكن حجز الخانة الأكثر أهمية MSB لتمثيل الإشار ة، وتحديد إشارة العدد ويرمز له ا بخانة الإشارة Sign Bit. يب الشكل التالي الخانة الخاصة بالإشارة لترميز عدد مؤلف من سبع خانات n = 7 bits فعندما يكون المقدار الإشارة 0=Sign Bit العدد موجب 1=Sign Bit العدد سالب كمثال العدد 2= (0011101) 10(29) بالنسبة للقيمة الموجبة يتم وضع صفر 0 في خانة الإشارة 29 = 1 0 1 1 1 0 0 0 المقدار الإشارة و تمثيل القيمة 29 - يتم بنفس الطريقة و لكن مع وضع 1 في خانة الإشارة لأن القيمة سالبة. 29 - = 1 0 1 1 1 0 0 1 المقدار الإشارة

أساسياتالنظم الرقمية 112 4-2 العمليات الحسابية على الأرقام المؤشرة Arithmetic Operations with Signed Numbers سنستخدم طريقة المتمم الثنائي لأنه أكثر الطرق استخداماُ في الحواسيب والأنظمة التي تعتمد على المعالجات وسنكتفي بالجمع والطرح فقط. 4-2-3 عملية الجمع Addition جمع عددين موجبين ينتج عدد موجب 4-2-4 عملية الطرح Subtraction يمكن تبديل عملية الطرح بعملية الجمع مع المتمم - لطرح عدد ثنائي من عدد ثنائي نتبع الخطوات التالية: 1. نكتب العددين بعدد بتات متساوي. 2. نوجد متمم العدد السالب 3. إذا حصلنا في الحمل المدور الأخير End Around Carry على • 1 فإن نتيجة الطرح موجبة ويمهل الفيض الأخ • 0 فإن نتيجة الطرح سالبة ونحصل على النتيجة النهائية بإيجاد المتمم. أمثلة - إذا كان كلا العددي سالبين فإننا نوجد المتمم الثنائي لكل منهما ونقوم بالجمع، فتكون النتيجة سالبة ويهمل الفيض، ونحصل على النتيجة النهائية بإيجاد المتمم كما هو موضح بالمثال التالي: