أساسيات النظم الرقمية

أساسياتالنظم الرقمية 193 10- استنتج الشكل المبسط على شكل مضروب مجاميعPOS من مخطط كارنوف من التمرين 8. 11- اكتب جدول الحقيقة لكل تعب من التعابير في التمرين السابق. 12- ارسم مخطط كارنوف بثلاثة متغيرات، وأربع متغيرات وحدد على كل منهما القيمة الثنائية والعشرية المقابلة لكل خلية في المخطط. 13- ارسم الدائرة المنطقية الممثلة بالتعابير التالية a) A + B + C+ D b) ABCD d) ABC+ 𝐀̅ B 𝑪𝐃 ̅ c)A + BC 14- حدد أي الدوائر التالية متكافئة في الشكل21-5.) الشكل21-5) 15- صمم دائرة منطقية تقوم بتحويل شفرة ثنائية مكونة من 4 خانات إلى الشفرة الرمادية، ثُ قم ببناء الدائرة، باستخدام بوابات ناند فقط NAND فقط 16- صمم دائرة منطقية لها ثلاث مداخل تمثل عدد ثنائي وخرجها المتمم الثنائي 2’ COMPLEMENT لهذا العدد.

أساسياتالنظم الرقمية 194 17- اكتب التعبير البولياني للدوائر المنطقية في الشكل22-5) الشكل22-5) 18- من جداول الحقيقة التالية، استنتج التعابير البوليانية على شكل مجموع مضاريب SOP ، وعلى شكل مضروب مجاميع POS.

أساسياتالنظم الرقمية 195 19- صمم دائرة منطقية لجهاز نزار محولة السرقة، تعطي في خرجها Z الحالة المرتفعة High عندما يطلق هذا الجهاز، وذلك عندما يكون دخلي الدائرة B أوC، أو كلاهما بالحالة المنخفضة Low،واللذان يمثلان عدم فتح قفلي الباب الأمامي بالمفتاح المخصص، ويكون بنفس الوقت قيمة الدخل A بالحالة المرتفعةHigh والذي يمثل فتح الباب. 20- صمم دائرة منطقية لها أربع مداخل ثنائية وعلى خرجها مصباحان. 1- يضيءالمصباح الأول في حال كان عدد الواحدات على الدخل عدد فردي. 2- يضيء المصباح الثاني في حال كان المكافئ العشري للعدد المدخل أو 21- يراد التحكم بفتح وإغلاق باب كراج سيارات علماً أنه عند وصول السيارة إلى باب الكراج يتم فتح الباب وبعد دخول السيارة يتم إغلاق الباب. يتوفر لدينا الحساسات التالية: الحساس 0S " لمعرفة وجود سيارة أمام الباب 0 0S وجود سيارة 1 0S عدم وجود سيارة الحساس 1S =11S الباب مغلق تماما 01S الباب ليس مغلق تماما الحساس 2S =12S الباب مفتوح تماما 02S الباب ليس مفتوح تماما 22- من أجل مخططات كارنوف التالية والمحدد على كل خلية الحد المقابل لها، أوجد التعبير البولياني المبسط وارسم الدائرة المعبرة عنه.

أساسياتالنظم الرقمية 196 23- من أجل مخططات كارنوف التالية أوجد التعبير البولياني المبسط وارسم الدائرة المعبرة عنه 24- ليكن لدينا الداوائر المنطقية في الشكل (23-5) - اكتب التعبير المنطقي على شكل مجموع مضاريب SOP. - استنتج جدول الحقيقة للدائرة المنطقية

أساسياتالنظم الرقمية 197 - اكتب التعبير المنطقي على شكل مضروب مجاميعPOS. - ارسم الدائرة المنطقية للتعبير على شكل مضروب مجاميعPOS. الشكل23-5) 25- أثبت أن الداوائرالمنطقية في (b) هي الشكل المختصر للدوائرالمنطقية في (a) الشكل24-5). (a) (b) الشكل24-5)

أساسياتالنظم الرقمية 198 26- ارسم شكل موجة الخرج للبوابات المنطقية للدائرة المنطقية في الشكل (25-5)، عندما يطبق على دخلها الإشارات A,B. الشكل25-5) 27- صمم دائرة منطقية تركيبية تعطي في خرجها X الحالة المرتفعةHIGH عندما يكون كلا دخلي الدائرة D , C بالحالة المنخفضة LOW، ويكون بنفس الوقت قيمة كل من الدخل A و B أو أحدهما بالحالة المرتفعةHIGH. 28- صمم دائرة منطقية لجهاز السرقة تعطي في خرجها Z الحالة المرتفعةHIGH عندما يطلق هذا الجهاز، وذلك عندما دخل الدائرة B أوC أو كلاهما بالحالة المنخفضة LOW،واللذان يمثلان عدم فتح قفلي الباب الأمامي بالمفتاح المخصص، ويكون بنفس الوقت قيمة الدخل A بالحالة المرتفعةHIGH،والذي يمثل فتح الباب.

أساسياتالنظم الرقمية 199 المصطلحات والعبارات الرئيسة واختصاراتهاKey Terms and Abbreviations المصطلح أو العبارة الترجمة الصفحة المصطلح أو العبارة الترجمة الصفحة جبر بول Boolean Algebra 149 قوانين التوزيع Distributive Laws 159 المتغير المنطقي Logical Variable 149 نظرياتديمورغان DeMorgan’s Theorems 165 العمليات المنطقية Logical Operations 150 مبدأ الثنوية Dual Theorem 166 الضرب البوليا Boolean Multiplication 150 شكل مضروب مجاميع Product-of-Sums Form (POS) 170 حد الضرب Product Term 150 الشكل القياسي لمجموع المضاريب The Standard SOP Form 171 الجمع البوليا Boolean Addition 150 الشكل القياسي مضروب مجاميع The Standard POS Form 173 حد المجموع Sum Term 150 مخططات كارنوف The Karnaugh Map 180 التعبير المنطقي Logical Expression 151 طريقة كوين مكلوسكي Quine McClusky 180 جدول الحقيقة Truth Table 152 مخطط بثلاث متغيرات 3-Variable Map 181 الدائرة المنطقية Logic Circuit 153 مخطط بأربع متغيرات 4-Variable Map 181 المخطط المنطقي Logic Diagram 153 حد الضرب الأصغري Minimum Product Term 185 شكل مجموع مضاريب Sum-of-Products Form (SOP) 155 مجموعة بخلية واحدة 1-Cell Group 185 قوانين التبديل Commutative Laws 158 حدالمجموع الأعظمي Maximum Sum Term 187 قوانين التجميع Associative Laws 159 الحالات (الشروط) غير الهامة أو غير المعرر فة Don’t Care Condition 190

أساسياتالنظم الرقمية 200

أساسياتالنظم الرقمية 201 الفصلالسادس 6 الدوائر المنطقية التوافقية Combinational Logic Circuits

أساسياتالنظم الرقمية 202 الأهداف العامة للفصل Objectives Chapter عندما تكمل هذا الفصلسوف تكتسب مجموعة من الخبرات والمعارف و ينبغي أن تكون قادراً على: التعرف على الدوائر المنطقية التوافقية Combinational Logic Circuits وما المقصود بها دراسة وتحليل وتصميم أهم الدوائر المنطقية التوافقية. التعرف على أهم شرائح الدوائر المتكاملة SCI للدوائر المنطقية التوافقية. تحليل وتصميم أهم الدوائر الحسابية كدوائر الجمع Adders المختلفة فهم وظيفة الدوائر التوافقية الأساسية لاستخدامها في الأنظمة الرقمية، وهذه الدوائر هي: معرفة تمثيل وتصميم دائرة المقارن Comparator. معرفة تمثيل وتصميم دائرة محلل الشفرة Decoder. معرفة تمثيل دائرة المشفر Encoder. معرفة تمثيل دائرة اختيار البيانات Multiplexer. معرفة وتمثيل دائرة موزع البيانات Demultiplexers.

أساسياتالنظم الرقمية 203 1- مقدمةIntroduction في الفصول السابقة تمت دراسة البوابات المنطقية كأساسيات منفردة، وتم استعراض كيفية تصميم الدوائر المنطقية البسيطة باستخدام هذه البوابات، من خلال كتابة التعابير البوليانية للدوائر المنطقية واختصار هذه التعابير ومن ثم رسم الدائرة، في هذا الفصل سوف نتناول كيفية تحليل وتصميم الدوائر المنطقية Logic Circuit Design حيث سيتم شرح خطوات التصميم بالتفصيل ابتداءاً من تحديد مواصفات الدائرة، ثم كتابة التعابير المنطقية، فتبسيط تلك التعابير إما باستخدام نظريات الجبر البولياني أو باستخدام مخططات كارنوف، أخيراً بناء الدائرة المنطقية التي تم تصميمها، إما باستخدام البوابات الأساسية OR و AND و NOT، أو باستخدام نوع واحد من البوابات NOR أوNAND. إن تصميم الدوائر باستخدام البوابات وفي حالة عدم وجود عناصر التخزين، فإن هذه الدوائر التي نحصل عليها تصنف بالدائرة المنطقية التوافقية Combinational Logic Circuit حيث يعتمد مستوى الخرج صفر 0 أو واحد 1 في أي لحظة زمنية على مستوى المداخل للدائرة. سنقوم بعرض لبعض هذه الدوائر التي تقوم بأداء وظائف مفيدة، والتي يتوفر أغلبها بصورة جاهزة في شكل دوائر متكاملة Integrated Circuits،بحيث يمكن شراؤها واستخدامها مباشرة في بناء الانظمة الرقمية. 2- الدوائر المنطقية التوافقية Combinational Logic Circuits جميع الدوائر المنطقية التي تعاملنا معها حتى الآن هي دوائر منطقية توافقية Combinational Logic Circuit ))، أو ترابطية، وسميت بالتوافقية لأن وظيفة الدائرة تقتصر على ربط متغيرات الدخل بعمليات منطقية لتوليد متغيرات الخرج، ومن الواضح أن الخرج في الدوائر التوافقية يعتمد فقط على القيم الحالية للدخل، فمتى ما تغيرت قيم الدخل تغيرت معها قيم الخرج. ▪ تتكون الدائرة التوافقية، من مجموعة من متحولات الدخل، ومن مجموعة من البوابات المنطقية، ومن مجموعة من متحولات الخرج . ▪ تستقبل الدائرة إشارات الدخل واحدات 1 وأصفار0 تعالجها وتولد إشارات الخرج أيضاً واحدات 1 وأصفار0. ▪ يمكن تمثيل دائرة المنطق التوافقية بصندوق له مجموعة من المداخل ومجموعة من المخارج التي يمكن أن تكون مداخلاً تغذي مجموعة أخرى من الدوائر، الشكل (1-6) يظهر ذلك الشكل (1-6 )يمكن تمثيل دائرة المنطق التوافقية بصندوق له مجموعة من المداخل ومجموعة من المخارج دائرة المنطق التوافقي Combinational Logic Circuit 1X 2X . . . . . . Xn A B . . . . . . Z

أساسياتالنظم الرقمية 204 في هذا الفصل سنقوم بدراسة بعض الدوائر التوافقية الشائعة الاستخدام في الأنظمة الرقمية نظراً لقيامها بأداء وظائف مفيدة يتكرر ظهورها في تلك الأنظمة، ومن هذه الدوائر دوائر الجمع. 2-1 دوائر الجمع Adders الجوامع هي دوائر مهمة في الحواسيب والأنظمة الرقمية الأخرى التي تعا البيانات الرقمية، وعملية الجمع من العمليات الرئيسة فيها، وفهم عملية الجمع يعتبر مهم أثناء دراسة الأنظمة الرقمية. 2-1-1 الجامع النصفي The Half-Adder الجامع النصفي The Half-Adder (HA) هو أبسط أنواع الجوامع، و هو عبارة عن دائرة منطقية تقوم بجمع خانتين ثنائيتين إلى بعضهما البعض وإيجاد حاصل الجمع (Sum) والحمل أو الفيض(Carry) كما هو موضح بالمخطط المنطقي في الشكل (2-6.) الشكل2-6) المخطط الصندوقي للجامع النصفيThe Half-Adder (HA) بالعودة إلى قواعد الجمع التي درسناها سابقاً يمكن مراجعتها بالجدول (1-6)، حيث المدخلات هيA,B والخرج يمثل حاصل الجمع Sum(S) والباقي المرحل أو الحمل Carry(C) الجدول1-6 )قواعد الجمع من أجل جمع خانتين ثنائيت الخرج المدخلات الحمل Carry(C) حاصل الجمع Sum(S) B A 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0

أساسياتالنظم الرقمية 205 نلاحظ أنالجامع النصفي هو دائرة تقبل رقمين ثنائيين على مداخلها وتنتج رقمين ثنائيين على مخارجها كل منهما بخانة واحدة، خانة الجمع، وخانة الحمل، ومن الجدول (1-6) نلاحظ أن التعابير المنطقية للخرج يمكن أن تستنتج كتوابع للدخل، حيث الخرج الحمل يكون واحد 1 فقط عندما يكون كل من المدخل A,B واحد1، لذلك يمكن أن يعبر عنه ببوابة آند AND، الخرج الجمع يكون واحد 1 عندما يكون المدخلA,B غير متساويين، لذلك يمكن أن نعبر عنه ببوابة أور المقصورة XOR . والدائرة المنطقية المعبرة عن الجامع النصفي تكون في الشكل 3-6) ال توضح كيفية توصيل الدخلين A,B والحصول على الخرجين C,S واللذان يتبعان جدول الحقيقة السابق، سنرمز لحاصل الجمع بــــ∑. AB= outC ∑ =A⊕ 𝐁 الشكل3-6) دائرة الجمع النصفي Half-adder logic diagram 2-1-2 الجامع الكامل The Full-Adder عند جمعالأعداد الثنائية وجدنا أنه عند جمع خانتين ( 2 بت) غالباً ما يتبقى مقدار يسمى الباقي أو الحمل(Carry) الذي يجب أن يرحل ليجمع مع الخانة التالية، وعلى هذا فإن الجمع يكون لثلاثة أرقام أو خانات Bits) وليس رقمين فقط، وبالتالي فإن الجامع النصفي لن يستطيع العمل في هذه الحالة، ونكون في حاجة إلى دائرة جديدة تستطيع جمع ثلاثة أرقام في نفس الوقت، وهذه الدائرة تسمى بدائرة الجامع الكامل Full-Adder (FA)،ويرمز للجامع الكامل بـ FA. دائرة لجامع الكامل هي دائرة توافقية تستطيع جمع ثلاثة أرقام (Bits)، في نفس الوقت، تتكون من ثلاثة مدخلات وخرجين، اثنان من المدخلات هما A,B يمثلان الرقمين المراد جمعها والدخل الثالث الحمل السابق هو inC )Input carry(،يمثل الرقم الباقي أو المرحل من جمع الرقمين السابقين، والخرجان هما حاصل الجمع )Sum( والحمل الناتج OUTC) carry Output( كما هو موضح بالمخطط المنطقي في الشكل (3-6.) الشكل3-6) المخطط الصندوقيلدائرة الجامع الكامل Full-Adder (FA)

أساسياتالنظم الرقمية 206 والجدول(2-6) يعرض قواعد الجمع في حالة الجامع الكاملFA،وهي قواعد الجمع من أجل جمع ثلاث خانات ثنائية. الجدول (2-6) قواعد الجمع في حالة الجامع الكاملFull Adder (FA) دائرة الجامع الكامل FA هو دائرة تقبل ثلاث أرقام ثنائية على مداخلها وتنتج رقمين ثنائيين على مخارجها، خانة الجمع، وخانة الحمل، من الجدول (2-6) نلاحظ أن التعابير المنطقية للخرج يمكن أن تستنتج كتوابع للدخل على الشكل التالي حيث سنرمز لحاصل الجمع بــــ ∑، وللحمل بــoutC: ∑ = 𝐴̅𝐵̅𝐶in + 𝐴̅B𝐶in̅̅̅̅+ AB𝐶in + A𝐵̅𝐶in̅̅̅̅ ∑ = (𝐴̅𝐵̅+AB) 𝐶in+ (𝐴̅B+A𝐵̅) 𝐶in̅̅̅̅ ∑ = (𝐴 ⊕ 𝐵̅̅̅̅̅̅̅̅) 𝐶in+ (A⊕B) 𝐶in̅̅̅̅ = ∑ = (A⊕B)⊕ 𝑪𝐢𝐧 Cout =𝐴̅𝐵𝐶in + 𝐴𝐵̅𝐶in+ AB𝐶in + A𝐵𝐶in̅̅̅̅ Cout =(𝐴̅̅̅𝐵+ 𝐴𝐵̅)𝐶in + A𝐵(𝐶in + 𝐶in̅̅̅̅) Cout == (A⊕B)𝑪𝐢𝐧 + A𝑩 لاحظ أن الخرج الذي يمثل الجمع يمكن أن نعبر عنه ببوابتي أور المقصورة XOR ، الأولى دخلهاA, B، والثانية دخلها (𝐶inكما في الشكل4-6)، والدائرة المنطقية الكاملة المعبرة عن الجامع الكامل تكون في الشكل 5-6)، التي توضح كيفية توصيل المداخل inCA,B, والحصول على الخرجين الجمع S والحمل outC واللذان يتبعان جدول الحقيقة السابق الخرج ،المدخلات الحمل الناتج )OUTCarry( C حاصل الجمع Sum(S) inC B A 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1

أساسياتالنظم الرقمية 207 الشكل4-6) دائرة الخرج الذي يمثل الجمع في دائرة الجامع الكامل FA الشكل5-6) المخطط الصندوقي للجامع الكاملFA منالشكل ( 5-6 )نلاحظ أنه الجامع الكامل يتكون من دائرتين للجامع النصفي مع بوابة أور OR، والمخطط الصندوقي لدائرة الجامع الكامل باستخدام دائرة جامع نصفي عدد 2، وبوابة أورOR موضح في الشكل6-6.) الشكل6-6) دائرة الجامع الكامل FA باستخدام دائرجامع نصفي وبوابة أور OR

أساسياتالنظم الرقمية 208 2-1-3 الجامع الثنائي التفرعيParallel Binary Adders كما وجدنا أن الجامع الكامل FA يستخدم من أجل عددين ثنائيين بخانة واحدة، مع خانة الحمل السابق للدخل input carry، لجمع عددين ثنائيين بأكثر من خانة واحدة يجب اضافة عدد من دوائر الجامع الكامل، عند جمع رقم ثنائي بخانة واحدة مع عدد آخر، كل عمود يولد خانة جمع، وخانة حمل يمكن أن يكون 0 أو1، للعمود التالي على اليسار، كما هو موضح هنا حيث نجمع عددين بخانتين. خانة الحمل carry bitمن العمود الأيمن في هذه الحالة بت الحمل يصبح بت جمع بعد أن صممنا دائرة الجامع الكامل أصبح بإمكاننا تصميم دائرة الجامع الثنائي لجمع عددين ثنائيين على التوازي، مؤلف كل منهما من عدد من الخانات n (n bit) وذلك بوصل n جامع كامل على التفرع ، حيث يستخدم جامع كامل لجمع كل خانة في العدد. كثال جمع عددين ثنائيين بخانتين 2-bit numbers يتطلب اثنين جامع كامل، كل منهما لجمع خانة، والشكل 7-6 ) يوضح عملية جمع العدد2 A1A مع العدد2B1B، حيث تم يعتبر حمل الدخلCin يساوي الصفر0. الناتج مؤلف من3 خانات وهو1∑2∑3∑،نلاحظ حمل الخرج النهائي outC أصبح الخانة الأكثر أهمية MSB من ناتج الجمع. الشكل (7-6) دائرة الجامع الثنائي لعدد جمع عددين ثنائيين بخانت 2-bit numbers الشكل العام لجمع عددين كل منها بخانت 2-Bit