أساسيات النظم الرقمية

أساسياتالنظم الرقمية 161 3. القاعدة3 Rule أي متغير مثلA إذا نفذت عليه العملية آندAND مع الصفر0 فإن الناتج هوالصفر 0. A . 0 = 0 4. القاعدة4 Rule أي متغير مثلA إذا نفذت عليه العملية آندAND مع الواحد1 فإن الناتج هوالمتغير نفسه. A . 1 = 1 5. القاعدة5 Rule أي متغير مثلA إذا نفذت عليه العملية أور OR مع نفسه يبقى المتغير نفسه. A + A = A إذا كانت A تساوي الصفر0 فإن 0).(0) = 0 إذا كانت A تساوي الواحد1 فإن 1).(1) = 1

أساسياتالنظم الرقمية 162 6. القاعدة6 Rule أي متغير مثلA إذا نفذت عليه العملية أور OR مع متممه فإن الناتج هو الواحد 1. A + 𝐴̅ = 1 7. القاعدة7 Rule أي متغير إذا نفذت عليه العملية آندAND مع نفسه يبقى المتغير نفسه A . A = A إذا كانت A تساوي الصفر0 فإن 0)+(0̅) = (0)+(1) = 1 إذا كانت A تساوي الواحد1 فإن (1)+( 1̅) = (1)+(0) = 1 8. القاعدة8 Rule أي متغير مثلA إذا نفذت عليهالعملية آند AND معمتممه فإن الناتج هو الصفر 0. A . 𝐴̅ = 0

أساسياتالنظم الرقمية 163 9. القاعدة9 Rule أي متغير مثلA إذا نفذت عليهالعملية النفي (المتمم) مرتين فإنه يبقى نفسه. A= 𝐴̿ 10. القاعدة10 Rule A + A . B = A هذه القاعدة يمكن اثباتها بتطبيق قانون التوزيع والقاعدة 2، والقاعدة4 كالتا ويمكن اثباتها باستخدام جدول الحقيقة التالي، ثم نرسم الدائرة قبل وبعد التبسيط: وحسب مبدأ الثنوية فإن: A . (A+B) = A 11. القاعدة11 Rule A + 𝐴̅ . B = A + B هذه القاعدة يمكن اثباتها على الشكل التا

أساسياتالنظم الرقمية 164 ويمكن اثباتها باستخدام جدول الحقيقة التالي، ثم نرسم الدائرة قبل وبعد التبسيط: وحسب مبدأ الثنوية فإن: A . ) 𝐴̅ + B ( = A . B 12. القاعدة12 Rule ( A + B )( B +C) = A + B . C هذه القاعدة يمكن اثباتها على الشكل التا

أساسياتالنظم الرقمية 165 ويمكن اثباتها باستخدام جدول الحقيقة التالي، ثم نرسم الدائرة قبل وبعد تبسيط 3-1-3 نظرياتديمورغان DeMorgan’s Theorems تعت نظريتا ديمورغان من أهم نظريات جبر بول وتستخدمان بشكل كبير في تبسيط التعابير المنطقية، وتعطيان وفق المعادلتين: (𝑨 + 𝑩̅̅̅̅̅̅̅̅) = 𝐀̅ . 𝐁̅ (𝑨. 𝑩̅̅̅̅̅) = 𝑨̅ + 𝐁̅ ويمكنتطبيق النظريتين أيضًا على أكثر من متغيرين. ويمكن أن نعبر عن نظريتا ديمورغان باستخدام البوبات المنطقية، واثباتهما باستخدام جدول الحقيقة كالتالي:

أساسياتالنظم الرقمية 166 مبدأ الثنوية Dual Theorem لكل نظرية أو قاعدة من جبر بول نظرية أو قاعدة مقابلة، وللحصول على هذه النظرية أو القاعدة المقابلة، نقوم بإجراء التبديلات التالية في النظرية الأصلية: مبدأ الثنوية Dual Theorem يكونإذا كان لدينا علاقة صحيحة عندها نحصل على علاقة صحيحة أخرى بتبديل كل AND بOR وكل OR بAND وكل 0 ب1 وكل 1 ب0 مثال 1- أثبت صحة العلاقة التالية AB + 𝐴̅C + BC = AB+ 𝐴̅C 2- هل العلاقة التالية صحيحة ولماذا A+B) (𝐴̅+C) (B+C) = (A+B) (A̅+C) الطلب الأول نقوم باستخدم جدول الحقيقة A B C A̅ AB 𝐴̅C BC AB + 𝐴̅C + BC AB+ 𝐴̅C 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 الطلب الثا نلاحظ أن العلاقة الثانية هي ثنوية العلاقة الأولى وبما أن العلاقة الأولى صحيحة فالثانية صحيحة. متكافئين العلاقة صحيحة

أساسياتالنظم الرقمية 167 4- تبسيط التعابير المنطقيةLogic Simplification قبل محاولة بناء أو تحقيق أي تعبير منطقي باستخدام البوابات المنطقية المعروفة، لابد من محاولة تبسيط هذه التعابير فقد توفر الكثير من البوابات، وقد تحصل على دائرة أكثر بساطة، أي الهدف من تبسيط التعبير المنطقي هو تبسيط الدائرة المنطقية، أي تقليل عدد البوابات المنطقية الداخلة فى بنائها، وذلك من أجل: ▪ تقليل تكلفتها. ▪ تصغحجمها. ▪ تقليلالطاقة التي تستهلكها. ▪ يعت تقليل تفرع الدخل للبوابات المنطقية المستخدمة فى بناء الدائرة نوعاً من التبسيط أيضاً . هناك عدد من الطرق لتبسيط الدوائر المنطقية، سنعرض في هذا الجزء طرق تبسيط التعبير المنطقي باستخدام جبر بول، وباستخدام مخططات كارنوف، ونقدم عددًا من الأمثلة لتوضيح طرق تبسيط التعابير المنطقية ، ونذكر القارئ بضرورة التدرب على عملية التبسيط بفهم الأمثلة جيداً و إعادة حلها و حل التدريبات. 4-1 تبسيط التعابير المنطقية باستخدام جبر بول Logic Simplification Using Boolean Algebra سنرى فى هذا الجزء كيفية التعبير المنقطي باستخدام قوانين ونظريات الجبر المنطق ي التي رأيناها فى هذا الفصل، لذلك فإنه لكى نستخدم هذه الطريقة لابد من المعرفة الج يدة لهذه القوانين وهذه النظريا ت،لكن من عيوب هذه الطريقة أن ه ليست لها خطوات محددة يتم اتباعها بالترتيب، وإنما تعتمد على المعرفة الجيدة بالقوانين السابقة، ك ما أن هناك عيب آخر وهو أن الشكل المبسط التي قد تصل إليه ليس هناك أي تأكيد على أنه أبسط شكل، ولكن قد يستطيع شخص آخر الحصول على شكل أبسط لأنه أمهر فى استخدام هذه القوانين. مثال بسط التعبير المنطقي التالي بالطريقة الجبرية، وارسم الدائرة قبل وبعد التبسيط AB + A(B + C) + B(B + C) نطبق قانون التوزيع على الحد الثاني والثالث: AB + AB + AC + BB + BC نطبق القاعدة7 BB = B)) على الحد الرابع AB + AB + AC + B + BC نطبق القاعدة5 (AB+AB = AB) على الحدين الاول والثا

أساسياتالنظم الرقمية 168 AB + AC + B + BC نطبق القاعة10 (B + BC = B) على الحدين الآخيرين AB + AC + B نطبق القاعة10 (B + BC = B) على الحد الأول والثالث B + AC عند هذه النقطة تم تبسيط التعبير إلى أبسطشكل ممكن. عندما تصبح بخبرة جيدة في تطبيق جير يمكن أن تدمج عدد من الخطوات مع بعض. الشكل (9-5) يظهر الدائرة قبل وبعد التبسيط، ونلاحظ أن الدائرتان متكافئتان الشكل (9-5) نلاحظ أن الدائرتان متكافئتان These two circuits are equivalent ---------------------------------------------------------------------- مثال بسط التعبير المنطقي التالي بالطريقة الجبرية نطبق نظرية ديمورغان على الحد الأول والثاني نطبق نظرية ديمورغان على الحدود بين الأقواس نطبق قانون التوزيع على الحدين بين الأقواس نطبق القاعدة 7(AA=A) على الحد الأول، والقاعدة10 على الحد الثالث والأخير نحصل منها على

أساسياتالنظم الرقمية 169 نطبق القاعدة10 على الحد الأول والثا نطبق القاعدة 10 على الحد الأول والثا ---------------------------------------------------------------------- ملاحظة: يمكن إثبات تكافؤ التابعين باستخدام جدول الحقيقة. ---------------------------------------------------------------------- مثال اختصر التعبير المنطقي التالي بالطريقة الجبرية 𝐹 = 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ + 𝑥̅𝑦̅𝑧 𝐹 = (𝑥𝑦̅̅̅) (𝑥𝑧̅̅̅) + 𝑥̅𝑦̅𝑧 = (𝑥̅ + 𝑦̅)(𝑥̅ + 𝑧̅) + 𝑥̅𝑦̅𝑧 = 𝑥̅𝑥̅ + 𝑥̅𝑧̅ + 𝑥̅𝑦̅ + 𝑦̅𝑧̅ + 𝑥̅𝑦̅𝑧 = 𝑥̅ + 𝑥̅𝑧̅ + 𝑥̅𝑦̅ + 𝑦̅𝑧̅ + 𝑥̅𝑦̅𝑧 = 𝑥̅ + 𝑦̅𝑧̅ ---------------------------------------------------------------------- مجال التعبير المنطقيDomain of a Boolean Expression مجال التعبير المنطقي هو مجموعة المتغيرات المحتواة في التعبير بشكلها المتمم وغير المتمم، على سبيل المثال - مجال التعبير المنطقي 𝐴𝐵̅C هو مجموعة المتغيراتA, B , C - مجال التعبير المنطقي 𝐴𝐵̅C 𝐷̅ هو مجموعة المتغيراتA, B , C, D

أساسياتالنظم الرقمية 170 4-2 الأشكال القياسية للتعابير البوليانية المنطقية Standard Forms of Boolean Expressions كل التعابير البوليانية بغض النظر عن شكلها يمكن أن تحول إلى اثنين من الأشكال القياسية - شكل مجموع مضاريب sum-of-products form (SOP) - شكل مضروب مجاميعproduct-of-sums form (POS) وضع أي تعبير منطقي فى أحد هذه الأشكال يسهل عملية اختصار وبناء هذه التعابير كما سنرى . 4-2-1 شكل مجموع مضاريب The Sum-of-Products (SOP) Form عندماتجمع اثنين أو أكثر من حدود المضاريب product terms بالجمع البوليا Boolean addition، الناتج هو تعبير منطقي يسمى مجموع المضاريب sum-of-products (SOP)،بعض الأمثلة تكون: عند تنفيذ أي تعبير منطقي في شكل مجموع مضاريب فإن الدائرة المنطقية الناتجة تتكون من مجموعة من بوابات آند AND، كل منها تمثل أحد الكميات المضروبة والممثلة بالمتغيرات المنطقية، وكل هذه البوابات مجمعة فى بوابة أور OR واحدة، كما في الشكل (10-5 )على سبيل المثال، الذي يمثل التعبير المنطقي التا AB + BCD + AC الخرج X للبوابة أورOR يساوي إلى تعبير منطقي في شكل مجموع مضاريب SOP الشكل10-5) الدائرة المنطقية والتابع المنطقي على شكل مجموع مضاريب SOP

أساسياتالنظم الرقمية 171 هذه الدائرة في الشكل 10-5) تسمى دائرة آند أور AND-OR circuit، وهي تنفذ مباشرة التعبير على شكل مجموع مضاريب SOP. باستخدام قوانين ونظريات الجبر المنطقي يمكن وضع أي معادلة فى شكل مجموع مضاريب. في الشكل القياسي لمجموع المضاريب The Standard SOP Form يجب أن يكون كل حد من حدود التابع يحوي جميع المتغيرات، ونقصد بالمتغير هنا المتغير ومتممه، ولتحويل أي تعبير إلى الشكل القياسي نضرب الحد غير القياسي في مجموع المتغير الناقص ومتممه ثم نفك هذا المجموع إلى حدين، يتضح ذلك من االأمثلة التالية: مثال حول التعبير البولياني الشكل القياسي لمجموع المضاريب SOP لدينا وبالتالي نحصل على ---------------------------------------------------------------------- مثال أكتب التعبير البولياني التالي بصيغة مجموع مضاريب قياسي SOP F = AB + 𝐵̅C F = AB(1)+(1) 𝐵̅C= AB(C+𝐶̅)+( 𝐴̅+A) 𝐵̅C F = ABC + AB𝐶̅ + 𝐴𝐵̅C + 𝐴̅𝐵̅C ----------------------------------------------------------------------

أساسياتالنظم الرقمية 172 مثال أكتب التعبير البولياني التالي بصيغة مجموع مضاريب قياسي SOP F = A + 𝐵̅C = A (B + 𝐵̅)(C+𝐶̅)+(A + 𝐴̅) 𝐵̅C = ABC + AB𝐶̅ + 𝐴𝐵̅C + A𝐵̅𝐶̅ + AB𝐶̅ + AB𝐶̅ = ABC + AB𝐶̅ + 𝐴𝐵̅C + A𝐵̅𝐶̅ + AB𝐶̅ ---------------------------------------------------------------------- 4-2-1-1 التمثيل الثنائي لحد مضاريب قياسيBinary Representation of a Standard Sum Term من أجل التمثيل الثنائي لحد المضاريب حد المضاريب القياسي يساوي الواحد 1 من أجل فقط تركيبة واحدة من قيم المتغيرات، على سبيل المثال حد المضاريب 𝐴𝐵̅C 𝐷̅ يساوي الواحد1 عندما A = 1, B = 0, C = 1, D = 0 𝐴𝐵̅C 𝐷̅ = 1 . 0̅ . 1 . 0̅ = 1 . 1 . 1. 1 = 1 والقيمة الثنائية لحد المضاريب1010 (عشرياً يساوي عشرة10.) التعبير المنطقي على شكل مجموع مضاريب SOP يكون مساوياً للواحد1 فقط إذا كان واحد أو أكثر من حدود المضاريب في التعبير يساوي الواحد 1. 4-2-2 شكلمضروب مجاميع The Product-of-Sums (POS) Form عندما اثنين أو أكثر من حدود المجاميعsum terms تضرب باستخدام الضرب البولياني Boolean multiplication، الناتج هو تعبير منطقي يسمى مضروب المجاميع product-of-sums (POS)،بعض الأمثلة تكون:

أساسياتالنظم الرقمية 173 عند تنفيذ أي تعبير منطقي شكل مضروب مجاميع فإن الدائرة المنطقية الناتجة تتكون من مجموعة من بوابات أور OR، كل منها تمثل أحد الكميات المضروبة والممثلة بالمتغيرات المنطقية، وكل هذه البوابات مضروبة باستخدام بوابة آند AND واحدة، كما في الشكل (11-5) على سبيل المثال، الذي يمثل التعبير المنطقي التا A + B)(B + C + D)(A + C) الخرج X للبوابة آندAND يساوي إلى تعبير منطقي في شكل مضروب مجاميعPOS الشكل11-5) الدائرة المنطقية والتابع المنطقي على شكل مضروب مجاميع POS هذه الدائرة في الشكل 11-5) تسمى دائرة أور آند OR -AND circuit . باستخدام قوانين ونظريات الجبر المنطقي يمكن وضع أي معادلة فى شكل مجموع مضاريب. في الشكل القياسي مضروب مجاميع The Standard POS Form يجب أن يكون كل حد من حدود التابع يحوي جميع المتغيرات، ونقصد بالمتغير هنا المتغير ومتممه، ولتحويل أي تعبير إلى الشكل القياسي نضيف المتغير الناقص مضروبا في عكسه إلى الحد الغير قياسي وهذا بالطبع لن يؤثر على هذه الكمية لأنه تبعا للقاعدة حاصل ضرب أي متغير فى عكسه يساوى صفر (A . 𝐴̅ = 0)، ومن ثم نستخدم قانون التوزيع، يتضح ذلك من المثال التالي: مثال حول التعبير البولياني الشكل القياسي لمضروب المجاميع POS

أساسياتالنظم الرقمية 174 وبالتالي نحصل على ---------------------------------------------------------------------- مثال أكتب التعبير البولياني التالي بصيغة مضروب مجاميع قياسي POS F = (A + C̅) (B̅ + C) F = (A + (B. B̅) + C̅) ( (A A̅) + B̅ + C) F = (A + B + C̅) (A + B̅ + C̅) (A +B̅ + C) (A̅ + B̅ + C) ---------------------------------------------------------------------- 4-2-2-1 التمثيل الثنائي لحد مجاميع قياسيBinary Representation of a Standard Sum Term حدالمجاميع القياسي يساوي الصفر 0 من أجل فقط تركيبة واحدة من قيم المتغيرات، على سبيل المثال حد المجاميع 𝐴 + 𝐵̅ + C + 𝐷̅ يساوي الصفر0 عندما A = 0, B = 1, C = 0, D = 1 𝐴𝐵̅C 𝐷̅ = 0 + 1̅ + 0 + 1̅ = 0 + 0 + 0 + 0 = 0 والقيمة الثنائية لحد المضاريب0101 (عشرياً يساوي خمسة5.) التعبير المنطقي على شكلمضروب مجاميع POS يكون مساوياًللصفر 0 فقط إذا كان واحد أو أكثر من حدود المجاميع في التعبير يساوي الصفر 0.

أساسياتالنظم الرقمية 175 4-2-3 التحويل من الشكل القياسي لمجموع المضاريب إلى الشكل القياسي لمضروب المجاميع Converting Standard SOP to Standard POS القيم الثنائية لحدود المضاريب في تعبير على شكل مجموع مضاريب قياسي SOP، لا تمثل في التعبير المقابل له المعبر عنه على شكل مضروب مجاميع قياسي POS، والقيم الثنائية غير الممثلة في تعبير على شكل مجموع مضاريب قياسي SOP، تكون ممثلة في الشكل المقابل له المعبر عنه على شكل مضروب مجاميع قياسي POS . لذلك للتحويل من الشكل القياسيSOP، إلى الشكل القياسيPOS يكون على الشكل التا 1) نوجد الرقم الثنائي الذي يمثل كل حد مضروب في التعبير على شكل مجموع مضاريب قياسي SOP. 2) نحدد كل القيم الثنائية غير الموجودة 3) نكتب حد المجموع المقابل لكل رقم ثنائي من الخطوة 2، بحيث نعبر عن كل رقم 1 بالمتغير المتمم، وكل رقم 0 بالمتغير، ونعبر عنهم على شكل مضروب مجاميع POS. مثال حول التعبير التالي بصيغة مجموع مضاريب قياسي POS إلى تعبير بصيغة مضروب مجاميع POS. نحدد القيم الثنائية لكل حد في التعب 000 + 010 + 011 + 101 + 111 بما أن مجال التعبير هو3 متغيرات وبالتالي عدد التركيبات الممكنة منها هو 832)، التعبير على شكل مجموع مضاريب SOP يحتوي على5 تركيبات، وبالتالي التركيبات غير الممثلة فيه هي 3 تركيبات، بالتالي التعبير على مضروب مجاميع يجب أن يحتوي على 001 ،100 ،110 وبالتالي التعبير على شكل مضروب مجاميع يكون ----------------------------------------------------------------------

أساسياتالنظم الرقمية 176 ملاحظة يمكن تحويل تعبير على شكل مجموع مضاريب SOP، إلى شكل مضروب مجاميع POS عن طريق عكس التعب باستخدام عملية النفي NOT، ومن ثم تطبيق نظرية ديمورغان كما هو موضح بالشكل 12-5.) الشكل12-5) تحويل تعبير من مجموع مجموع مضاريب SOP، إلى شكل مضروب مجاميعPOS عن طريق عكس التعب باستخدام عملية النفي NOT، ومن ثم تطبيق نظرية ديمورغان 4-3 التعابالبوليانية وجدول الحقيقة Boolean Expressions and Truth Tables كلالتعابير البوليانية يمكن أن تحول بسهولة إلى تنسيق جدول الحقيقة باستعمال القيم الثنائية لكل حد في التعبير، وجدول الحقيقة هو الطريقة العامة الشائعة لتمثيل التعابير المنطقية، و جدول الحقيقة هو استجابة الدائرة المنطقية أو التعبير المنطقي لجميع الاحتمالات الممكنة لمتغيرات الدخل للدائرة . نقوم بكتابة جدول الحقيقة للتعبير المنطقي بعدد أسطر توافق مجال متغيرات الدخل، كل سطر يحتوي على أحد الاحتمالات الممكنة من التركيبات لمجموعة متغيرات الدخل. 4-3-1 تحويل تعبير منطقي على شكل مجموع مضاريب إلى جدول الحقيقة Converting SOP Expressions to Truth Table Format وجدنا من السابق أن التعبير المنطقي على شكل مجموع مضاريب SOP يكون مساوياً للواحد1 فقط إذا كان واحد أو أكثر من حدود المضاريب في التعبير يساوي الواحد 1. بعد كتابة جدول الحقيقة للتعبير المنطقي بعدد أسطر يوافق مجال متغيرات الدخل، نقوم بوضع واحد 1 أو صفر0 في عمود الخرج على الشكل التا