أساسيات النظم الرقمية

أساسياتالنظم الرقمية 145 المصطلحات والعبارات الرئيسة واختصاراتهاKey Terms and Abbreviations المصطلح أو العبارة الترجمة الصفحة المصطلح أو العبارة الترجمة الصفحة مستويات الاشارة المنطقية Logic Signal Levels 119 أربع بوابات آند AND بمدخل Quad 2-Input AND 123 البوابات المنطقية Logic Gates 119 مفتاح تشغيل Ignition Switch 124 المنطق الموجب Positive Logic 119 نظام التنبيه الصو audible Alarm Circuit 124 المنطق السالب Negative Logic 119 حزام الأمان Seat Belt 124 المتمم المنطقي Logical Complementation 120 عملية الجمع المنطقي Logical Addition (OR) 125 النفي المنطقي Logical Inversion 120 أربع بوبات أورOR بمدخل OR gate quad 2- input 126 جدول الحقيقة Truth Table 120 أربع بوبات ناند NAND بمدخل Quad 2-Input NAND Gate 128 بوابة النفي NOT Gate 120 ثلاث بوبات ناند NAND بثلاثة مداخل Triple 3-Input NAND Gate 128 الشكل المميز Distinctive Shape 120 بوابتين ناند NAND بأربع مداخل Dual 4-Input NAND Gate Device 128 الشكل المربع Rectangular Shape 120 بوابة ناندNAND بثمانية مداخل Single 8-Input NAND Gate 128 المتمم الأحادي 1’s Complement 121 الديود الضوئي Light-Emitting Diode (LED) 129 الرقم الثنائي بـــــثمان خانات 8-Bit Binary Number 121 البوابة العامة Universal Gate 130 الضرب المنطقي Logical Multiplication (AND) 122 العملية نورNOR NOR Operation 131 التعبير المنطقي Logical Expression 122 أربع بوابات نور NOR NOR بمدخل Quad 2-Input NOR Gate 132

أساسياتالنظم الرقمية 146 ثلاث بوابات نور NOR بثلاثة مداخل Triple 3-Input NOR Gate 132 بوابة أور المقصورة اكس أور XOR بمدخل Quad 2-Input XOR Gate 137 تروسالهبوط Landing Gears 133 العملية نور المقصورة اكس نور XNOR Exclusive NOR, XNOR 137 بوابة نفي آند AND Negative-AND Gate 133 أربع بوابات اكس نور XNOR بمدخل Quad 2-Input XNOR Gate 138 العملية أور المقصورة اكس أور XOR Exclusive OR, XOR 136 بوابة نفي أورOR Negative-OR Gate 139

أساسياتالنظم الرقمية 147 الفصلالخامس 5 الجبر البولياني وتبسيط التعابير المنطقية Boolean Algebra And Logic Simplification

أساسياتالنظم الرقمية 148 الأهداف العامة للفصل Objectives Chapter عندما تكمل هذا الفصلسوف تكتسب مجموعة من الخبرات والمعارف و ينبغي أن تكون قادراً على: التعرف على أساسيات جبر بول. التعرف على المتغير المنطقي والتعبير المنطقي. التعرف على العمليات البوليانية الأساسية. التعرف على قواعد وقوانين ونظريات جبر بول. التعرف على كيفية استنتاج التعبير البولياني للدائرة المنطقية. القدرة على تمثيل دائرة منظقية بدلالة التعبير البولياني. كتابة التعابير المنطقية والتعامل معها باستخدام صيغة مجموع مضاريب SOP، ومضروب مجاميع POS. القدرة على التحويل فيما بين أشكال التعابير المنطقية. القدرة على تحويل تعبير منطقي إلى جدول الحقيقة وبالعكس. اختصار وتبسيط التعابير المنطقية باستخدام قوانين جبر بول. التعرف على جداول كارنوف و استخدامها. المقدرة على تبسيط التعابير المنطقية باستخدام جداول كارنوف.

أساسياتالنظم الرقمية 149 1- مقدمةIntroduction يسمى جبر بولBoolean Algebra على اسم العالم الانجليزي جورج بول George Boole الذي كان أول من وضع أساسيات ونظريات الجبر المنطقي في سنة 1854. جبر بول أو جبر المتغيرات المنطقية، هو مجموعة من النظريات والقواعد والقوانين التي تسهل التعامل مع الدوائر المنطقية، وسنغطي في هذا الفصل هذه القواعد و القوانين والنظريات، و سنرى من خلال هذا الفصل كيف يمكن أن نعبر عن أي دائرة منطقية بمعادلة جبرية، وكيف نقوم بإ عدّاد جدول الحقيقة لهذه المعادلة، ثم سنتعرف على طرق تبسيط هذه الدوائر إلى أبسط شكل ممكن باستخام جبر بول وباستخدام مخطط كارنوف، ومن ثم كيفية بناء هذه الدوائر. 2- العمليات والتعاب المنطقية Operations and Expression Logic 2-1 المتغير المنطقي Logical Variable المتغ المنطقي Logical variable هو رمز يستخدم لتمثيل كمية منطقية تكون إما حدث أو شرط أو بيانات، هذا المتغير يمكن أن يأخذ قيمة واحدة فقط من قيمتين، يرمز لإحدى القيمتين بالرمز واحد 1 وللقيمة الأخرى بالرمز صفر 0 ... فأي متغير منطقي لا يمكن أن يأخذ إلا إحدى هاتين القيمتين، ولا يوجد أي احتمال ثالث. فإذا كان X متغير منطقي فإنه إما أن يكون 0 =X أو 1 =X تستخدم الحروف الكبيرة لتمثيل المتغير المنطقي والمتمم له المتمم complementهو العكسأو النفي للمتغير ويشار إليه بوضح خط أو شرطة فوق المتغير overbar،مثلاً المتمم للمتغير A هوA، متمم المتغA يقرأ بالشكل ليسA (not A) أوA بار كأمثلة عن الكميات المنطقية: صواب أو خطأ False أو True OFF أو ON Volts +5 أو Volts 0 Low أو High أبيض أو أسود Female أو Male

أساسياتالنظم الرقمية 150 2-2 العمليات المنطقية Logical Operations العمليات المنطقية Logical Operations هي العمليات التي يمكن إجراؤها على المتغيرات المنطقية ، وقد تناولناها بالتفصيل بالفصل الرابع، بعض هذه العمليات هي عمليات أساسية مثل الجمع المنطقي أور OR والضرب المنطقي آند AND والنفي المنطقي NOT، وبعضها عمليات غير أساسية، مثل عمليات XOR وNOR وNAND ، وهذه العمليات يمكن التعبير عنها باستخدام العمليات الأساسية. 2-3 الضرب البولياني (المنطقيBoolean Multiplication الضرب البولياأو المنطقي Boolean Multiplication يكافئ بالعملية آندAND، قواعده الأساسية وعلاقته بالبوابة آند AND موضحة بالشكل (5-1)، وفي جبر بولحد الضرب product term ينتج من تطبيق عملية آندAND على مجموعة من المتغيرات، ولا يتضمن العملية أور OR، وكأمثلة A . B, A . B . C, A . B . C . D, C . D حد الضرب يساوي واحد 1 إذا كانت كل متغيراته تساوي الواحد 1. حد الضربيساوي صفر 0 إذا كان أحد متغيراته يساوي الصفر 0. الشكل1-5) الضرب البولياني وقواعده الأساسية وعلاقته بالبوابة آندAND 2-4 الجمع البولياني (المنطقي) Boolean Addition الجمع البولياني أو المنطقيBoolean Addition يكافئ بالعملية أورOR، قواعده الأساسية وعلاقته بالبوابة أور OR، موضحة بالشكل (5-2)، وفي جبر بولحد المجموع sum term ينتج من تطبيق عملية أور OR، على مجموعة من المتغيرات، ولا يتضمن العملية آند AND، وكأمثلة (A + B + C) ( A + 𝐵̅) ( B+𝐶̅ ) حد المجموع يساوي صفر 0 إذا كانت كل متغيراته تساوي الصفر 0. حد المجموع يساوي واحد 1 إذا كان أحد متغيراته يساوي الواحد 1.

أساسياتالنظم الرقمية 151 الشكل2-5) الجمع البولياني وقواعده الأساسية وعلاقته بالبوابة أورOR 2-5 التعبير المنطقي Logical Expression التعبير المنطقي Logical Expression هو عبارة عن مجموعة من المتغيرات المنطقية المتربطة مع بعضها البعض بعمليات منطقية، كمثال التعبير المنطقي X= A + B . C يتكون التعبير المنطقي هنا من أربعة متغيرات هيX, A, B, C تربط بينها عمليات أور OR وآند AND والنفي NOT وعملية التكافؤ=. أسبقية إجراء العمليات Operation Precedence يتم إجراء العمليات المنطقية الأساسية الثلاث بالترتيب التا 1- عمليةالنفي المنطقي NOT. 2- عملية الضرب المنطقيAND. 3- عملية الجمع المنطقيOR. ففي التعبير أعلاه، مثلاً يتم أولاً إجراء عملية النفي المنطقي للمتغيرينC,B أولاً، ثم عملية الضرب المنطقي آندAND بA وC، وأخيراً عملية الجمع المنطقي أورOR. في حالة ظهور عدة عمليات متساوية من حيث الأسبقية في التعبير المنطقي يتم إجراؤها بالترتيب من اليسار لليمين. يمكن استخدام الأقواس للتحكم في ترتيب إجراء العمليات، حيث أن الأقواس لها الأسبقية العليا، أي أن ما بين الأقواس يتم حسابه دائماً أولاً ، مثلاً إذا قمنا في التعبير السابق بإضافة قوسين كالتالي: X= (A + B) . C فيتم إجراء الجمع المنطقي أور OR الموجودة بين قوسين قبل العملية آند AND، وذلك على الرغم من أن عملية آند AND لها أسبقية أعلى من عملية أورOR، والسبب وجودها بين القوسين، حيث يتم احتساب ما بين القوسين أولاً، فيتم إجراء

أساسياتالنظم الرقمية 152 عملية النفي المنطقي للمتغB، ثم عملية أورOR بA وB، وبعد الانتهاء من الأقواس يتم إجراء العمليات خارجها، فيتم إجراء عملية النفي المنطقي للمتغير C، ثم عملية آندAND لما بين القوسين وC. 2-6 جدول الحقيقة Truth Table يمكن أن ننشئ لأي دائرة منطقية لها n مدخل ومخرج وحيد X جدولاً يسمى جدول الحقيقة Truth Table، عدد أعمدته يساوي إلى n+1 وعدد سطوره يساوي إ n2 ، بحيث تحتوي أعمدة المداخل على مخلتف تراكيب متغيرات الدخل، بينما يُظهر عمود الخرج قيم خرج الدائرة المنطقية المحتملة لجميع قيم الدخل المقابلة. n2 :(عدد الحالاتn : عددالمتغيرات من أجل 2 من متغيرات الدخل فإن 4 2N= 2 تراكيب من أجل 3 من متغيرات الدخل فإن8 3N= 2 تراكيب من أجل 4 من متغيرات الدخل فإن 16 4N= 2 تراكيب جدول الحقيقة من أجل 3 متغيرات، نلاحظ وجود 8 3N= 2 من التراكيب المخلتفة من متغيرات الدخل نلاحظ أن الخرج يمثل X= A + B + C عملية أورOR ثلاثية المداخل X= A . B . C عملية آند AND ثلاثية المداخل X= A . B . C X= A + B + C C B A 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1

أساسياتالنظم الرقمية 153 2-7 الدائرة المنطقية Logic Circuit هي دائرة الكترونية Logic Circuit رقمية لها عدد من المداخل والمخارج تحتوي على عدد من البوابات المنطقية، وتؤدي وظيفة محددة. و الخطوة الأولى في تصميم أي دائرة منطقية هي تحديد مواصفات تلك الدائرة بدقة Determine the logical circuit specification، ويتم ذلك بإعطاء: 1- تعبير منطقيLogic Expression) 2- مخطط منطقيLogic Diagram) 3- جدول الحقيقةTruth Table) لتصميم دائرة منطقية من الضروري أن نتبع خطوات التصميم التالية: خطوات تصميم دائرة منطقية 1- تحديد مداخل ومخارج ال دائرة. 2- وضع جدول الحقيقة وذلك حسب معطيات الدائرة المطلوبة. 3- إيجادالتعابير المنطقية لمخارج ال دائرة بدلالة مداخلها. 4- اختصار التوابع المنطقية الناتجة 5- رسم الدائرة . 2-8 التحليل البولياني للدوائر المنطقيةBoolean Analysis of Logic Circuits يمكن التعبير عن أي دائرة منطقية توافقية مهما كانت معقدة باستخدام العلاقات الجبرية التي تصف عمل البوابات المنطقية التي تشكل هذه الدائرة ويمكن أن نكتب المعادلة البوليانية لها، و يمكن تمثيل أي تعبير منطقي بدائرة منطقية، حيث ننظر للعمليات المنطقية الموجودة بالتعبير و نقوم بربط البوابات المنطقية لتي تقوم بإجراء تلك العمليات بالأسلوب المناسب. مثال: التعبير المنطقي التالي:

أساسياتالنظم الرقمية 154 عدد المتغيرات في التعبهو خمس متغيرات، نصمم الدائرة التي تنفذ التعبير المنطقي وهي في الشكل (3-5)، حيثفيه حدين منفذ عليهم عملية الجمع المنطقي تنفذه البوابة أور OR، حيث ▪ الحد الأول متغيرينA, B منفذ عليهمعملية الضرب المنطقي تنفذه البوابة آند AND. ▪ الحد الثاني ثلاث متغيراتC, D, E منفذ عليهم عملية الضرب المنطقي تنفذه العملية آند AND. الشكل3-5) الدائرة المنطقية المعبرة عن التابع X=AB+CDE مثال التعبير المنطقي التالي: التعبير المنطقي يجب أن يحول إلى شكل مجموع مضاريب كما يلي: عدد المتغيرات في التعبير هو ست متغيرات، نصمم الدائرة التي تنفذ التعبير المنطقي وهي في الشكل (4-5)، حيثفيه حدين مضاريب منفذ على كل واحد منهم عملية الضرب المنطقي تنفذه البوابة آند AND، هذين الحدينمنفذ عليهم عملية الجمع المنطقي تنفذه البوابة أور OR، وفيه قبل عملية التحويل إلى شكل مضاريب التا ▪ اتغيرين A, B منفذ عليهمعملية الضرب المنطقي تنفذه البوابة آند AND. ▪ المتغيرينC, D منفذ عليهمعملية الضرب المنطقي تنفذه البوابة آند AND، يمثل الحد الأول لعملية الجمع المنطقي. ▪ المتغيرينE,F منفذ عليهمعملية الضرب المنطقي تنفذه البوابة آند AND، يمثل الحد الثاني لعملية الجمع المنطقي ▪ عملية الجمع المنطقي تنفذه البوابة أور OR على الحد الأول والثا

أساسياتالنظم الرقمية 155 الشكل4-5) تمثيل دائرة باستخدام التعبير البوليا 2-9 تمثيل دائرة منطقية باستخدام جدول الحقيقة Represent a Logical Circuit using the Truth Table يمكنانطلاقاً من جدول الحقيقة تمثيل دائرة منطقية، فيمكن أن نكتب التعبير المنطقي مباشرة من جدول الحقيقة على شكل مجموع مضاريب sum-of-products form (SOP)، ومن ثم ننفذ الدائرة المنطقية، كما شرحنا سابقاً مثال من أجل جدول الحقيقة التالي: ▪ استنتج التابعالمنطقي ▪ ارسم الدائرة المنطقية التي تمثل التعبير المنطقي من جدول الحقيقة لإيجاد التعبير المنطقي على شكل مجموع مضاريب ننظر إلى عمود الخرج، ونقوم بأخذ الحدود المنطقية التي يكون فيها عمود الخرج مساوياً واحد 1، أيX=1. من جدول الحقيقة التانحصل على التعبير المنطقي التالي: الخرج Output المداخل Inputs X C B A 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1

أساسياتالنظم الرقمية 156 أصبحت لدينا حالة كالحالة السابقة، نقوم برسم الدائرة المنطقية حسب الخطوات التي درسناسابقاً، وهي في الشكل (5-5) الشكل5-5) دائرة منطقية تمثل تعبير منطقي تم استنتاجه من جدول الحقيقة 2-10 استنتاج التعبير البولياني المنطقي من دائرة منطقية Boolean Expression for a Logic Circuit لاستنتاج التعبير البولياني المنطقي لأي دائرة منطقية نبدأ من المدخلات في أقصى اليسار متجهين إلى الخرج النهائي للدائرة، وذلك بكتابة الخرج لكل بوابة كما في الدائرة في الشكل ( 6-5.) الشكل6-5) كتابة التعبير البولياني لدائرة منطقية حد الضرب Product term X C B A 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 𝐀̅𝐁𝐂 1 1 1 0 𝐀𝐁̅𝐂̅ 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1

أساسياتالنظم الرقمية 157 من الدائرة المنطقية في الشكل 6-5) نجد أن التعبير المنطقي الذي يمثل الدائرة هو A(B+CD) 2-11 المخطط المنطقي Logic Diagram المخطط المنطقي Logic Diagram هو عبارة عن مخطط مبسط يوضح متغيرات الدخل للدائرة المنطقية ومسمياتها ومتغيرات الخرج ومسمياتها بالإضافة إلى اسم الدائرة الدال على وظيفتها. مثلاً، الداوائر المنطقية في الأشكال (4-5)،5-5)،6-5 ) يمكن تمثيلهما بالمخطط المنطقي في الشكل (7-5.) الشكل7-5) المخطط المنطقيLogic Diagram المخطط المنطقي هنا يوضح أن الدائرة المطلوب تصميمها لها ثلاثة متغيرات دخل A, B, C ومتغيرا خرج هما X, Y. الشكل8-5) يظهر المخطط المنطقي لبعض الدوائر المنطقية،(المقارن والمشفر 8 إ3)،حيث نقوم باستخدام المخططات المنطقية كبديل للدائرة المنطقية المفصلة كنوع من التبسيط، وذلك عندما لا نكون بحاجة للتفاصيل الداخلية للدائرة المنطقية، كما في الدوائر المعقدة المكونة من عدد من الدوائر الصغيرة المربوطة مع بعضها البعض، حيث نقوم بتمثيل تلك الدوائر الصغيرة بمخططاتها المنطقية. الشكل (8-5) المخطط المنطقي المخطط المنطقي لبعض الدوائر المنطقية (المقارن، المشفر 8 إ3)

أساسياتالنظم الرقمية 158 3- جبر بولBoolean Algebra جبر بول Boolean Algebra هو رياضيات المنطق الرقمي، يتألف من عدد من القواعد والقوانين والنظريات ال تساعد في فهم وتحليل الدوائر المنطقية. يخلتف جبر بول عن الجبر العادي في أن متغيرات وثوابت جبر بول تأخذ قيمتين فقط وهما الصفر " 0 " والواحد " 1 ." يمكن أن يمثل المتغير المنطقي جهد الخرج أ و الدخل لدائرة الكترونية، حيث: يأخذ المتغير القيمة صفر منطقي " 0 " عندما يكون الجهد الكهربائي في خرج الدائرة يقع ضمن المجال من 0 إ0.8v. بينما يأخذ المتغير القيمة واحد منطقي1 " عندما يكون جهد الخرج يقع ضمن المجال من 3 إ5v. تستخدمالأحرف الكبيرة المائلة عادة (usually an italic uppercase letter) لتمثيل المتغيرات المنطقية، فمثلاً الحرف A يمكن أن يمثل متغير منطقي يعبر عن دخل أو خرج دائرة منطقية تأخذ فقط القيمتين المنطقيت صفر " 0 " أو واحد " 1 . " بما أن جبر بوليتعامل فقط مع قيمتين فلا يوجد في جبر بول طرح، أو قسمة، أو جزر تربيعي، أو فواصل، أو أرقام سالبة، أو تربيع أو تكعيب، أو لوغاريتمات. 3-1 قواعد وقوانين جبر بولLaws and Rules of Boolean Algebra كما هو الحال في مجالات الرياضيات الأخرى، هناك بعض القواعد والقوانين التي يجب اتباعها من أجل تطبيق صحيح لجبر بول أهمها المقدمة في هذا القسم. 3-1-1 قوانين جبر بول Laws of Boolean Algebra 1) قوانين التبديل Commutative Laws A + B = B + A A . B = B . A

أساسياتالنظم الرقمية 159 2) قوانين التجميع Associative Laws A +( B + C )= ( A + B ) + C A . ( B . C ) = ( A . B ) . C 3) قوانين التوزيع Distributive Laws A . ( B + C ) = A . B + A. C A + ( B . C ) = ( A + B ) . ( A + C )

أساسياتالنظم الرقمية 160 3-1-2 قواعد جبر بول Rules of Boolean Algebra القواعد الأساسية لجبر بول هي12 قاعدة، تساعدمعالجة وتبسيط التعابير البوليانية المنطقية، وهي التالية: القواعد من 1 ح9 قواعد أساسية، والقواعد من10 ح12 يمكن أن تشتق باستخدام القواعد والقوانين السابقة المتغيرات A,B,C يمكن أن تكون متغيرات مفردة أو يمكن أن تكون أي تركيب من المتغيرات 1. القاعدة1 Rule أي متغير مثلA إذا نفذت عليه العملية أورOR مع الصفر 0 بيقى المتغير نفسه A + 0 = A 2. القاعدة2 Rule أي متغير مثلA إذا نفذت عليه العملية أور OR مع الواحد 1، فإن الناتج هو الواحد1. A + 1 = 1