الهندسات اللاإقليدية والمصادرة الخامسة

محمد يوسف الحجيريدhoujairi@hotmail.com فريق الدراسة والبحث في التراث العلمي العربي) -(الجامعة اللبنانية 1 ة والمصادرة الخامسةالهندسات اللاإقليدي الحجيري يوسف محمد ي ة(الجامعة اللبنان -فريق الدراسة والبحث في التراث العلمي العربي) إلى ما يلي : الدراسةتهدف هذه " مصادرة إقليدس ل علىإقامة الدليالتي رمت إلى " الدؤوبة المحاولاتعن سريعة عرض لوحة إلى لاً : أو ام.ابن الهيثم وعمر الخي كل من على دورَي وبالأخص ،ي ةالعربالحقبة علماء دورمع التركيز على ،الخامسة مصادرة على "إقامة الدليل"ة الكامنة وراء استمرار محاولة مناقشة بعض الأسباب الجوهري إلى ثانياً : إقليدس الخامسة اكثر من ألفي عام. على عشر سعاتع في القرن الط ة القَ إلى تزامن اكتشاف الهندسة الزائدي أد تس الأسباب التي تلم إلى ثاً : ثال ة.مستقل وبصورة ،ينمن الرياضي ثلاثة يد طبيعة وخصائص على و ،ي ةلاإقليدلة الهندسات اتسليط بعض الضوء على الوضع الراهن لنظري إلى رابعاً : معضلة المصادرة الخامسة. حل التي هدفت إلى الطويلةت عنها الجهود التي تمخض ةالكائنات الرياضي 1-توطئة أكان دفع الباحثَ تة رياضي ال تنظريا لل ةظم الموضوعاتي الن بأغلب المرتبطة ةالعام الخصائص المعرفي ة إن ها:على سبيل المثال بعضَ ن ورد ،من الأسئلة جملة طرح إلى أو مؤر خاً للعلم اً و فيلسوفأ اً رياضي 1-ة الموضوعات والمصادراتما مدى استقلالي (1) الأولي ة عن بعضها البعض؟ وهل يمكن أن ي ستنبطَ بعض ها من البعض الآخر بواسطة وسائل الاستنتاج الـم عتمدة في النظام الموضوعات ذي الصلة؟ 2-ين إلى حكمين متضاد طة قواعد الاستنباط، الوصول وبواس ،ةلي هل يمكن، انطلاقاً من المصادرات الأو ؟مثلاً ةة الإقليدي ي الهندس النظري ة في 3-عن ة مستقل أ خرى، ة بمجموعة لي الموضوعات والمصادرات الأو مجموعةَ لَ كمستهل من الممكن أن ن المجموعة القديمة وغير مناقضة ا؟له (1) لا يوجد حت الآن تفسير حاسم لاختيار تعبيرين مختلفين: موضوعات (Axiomes ou notions communes )و مصادرات Postulats ou demandes) عند إقليدس. إن المعيار الذي ات بعه إقليدس في التمييز بين الموضوعة والمصادرة غير مفهوم . و تجدر الإشارة إلى إن بعض المراجع تورد المصادرتين الرابعة والخامسة في لائحة الموضوعات ، ولذلك ي كى أحيااً عن الموضوعة الحادية عشرة عو ضاً عن الكلام عن المصادرة الخامسة. و يميل البعض إلى الاعتقاد بأن المصادرات (أو المتطلب ات) تعني لدى إقليدس إمكاني ات م سل ماً بها لبناء أو تركيب كائن رياضي ما، كما في مصادرة إقليدس الأولى، حيث تعب هذه المصادرة عن إمكاني ة مد مستقيم بين أي نقطتين. أم ا الموضوعة (أو المفهوم المشترك) فتعني لديه تعميماً مسل ماً به لاستعمال مبدأ رياضي ما ،كما في الموضوعة الأولى، حيث يجري تأكيد ما يلي : مقداران مساويان لم قدار ثالث مشترك متساويان فيما بينهما[11, 13].

محمد يوسف الحجيريدhoujairi@hotmail.com فريق الدراسة والبحث في التراث العلمي العربي) -(الجامعة اللبنانية 2 بدراسة عضويا ً من حيث الجوهرلول تلك الح حيث ترتبط ،وصعباً داً هذه المسائل موضوعاً معق يمث ل حل ةة التشكيلي الن ظم المنطقي ي ةنظر و ، المنطقي والتضم ن الباهين ي ةنظر و المنطق الرياضي، (2) ،ونظري ة غوديل (Gödel) فيعدم الاكتمال المنطقي . ق ة عن بعضها البعض. ويتعل صادرات الأولي الموضوعات والم ي ةل كما هو واضح باستقلاليتعل ق السؤال الأو أما السؤال "،ةلنظري ل تأويلاً " ى عادةً سم ي بناء نموذج يقتضيالذي الأمر ،ةالسؤال الثاني بعدم تناقض النظري ة.للنظري الرياضي المنطقي الثالث فمتعل ق بالاكتمال لىعلى بعض الأجوبة الشافية ع اً نسبي منذ فترة قصيرة العلماءحصل قد ،هندسة إقليدسإلى بالنسبة مصادرة الخطوط المتوازية إلى ي ةاستقلال وبرهان ي ةاللاإقليد اتالهندس ى اكتشاف قد أد و الأسئلة الواردة أعلاه. معضلة المتوازيات نوا من حل ي القرنين التاسع عشر والعشرين، الذين تمك كبير في هذا المجال على يد رياضي ر تطو كبيرة من مجموعة المعضلةهذه لتي شغلت العلماء والباحثين على مدى اكثر من عشرين قراً. وقد ساهم في حل ا النيريزي والجوهري وثابت بن قر ة ن في تاريخ العلم العربي كو ومن بينهم علماء مشهور ،العلماء عملوا عب العصور ( ابن الهيثمو 980-1041 )،و نصير الدين الطوسي(1201-1274) وعمر الخيام1048-1131 ) وغيرهم أما بلورة الاكتشاف الذي أخرج العلماء والباحثين من دوامة المصادرة الخامسة فقد تم ت على يد لوباتشوفسكي(1792-1856 ) سنة1829 الذي اكتشف أول هندسة لاإقليدي ة ذات انحناء سلبي وهي تحمل اسم مكتشفها، هندسة لوباتشوفسكي [1 1 ]، وقد ع رفت فيما بعد وفقاً لتسمية فيليكس كليين (Felix Klein ) الهندسة زائد ي ة القطع، وتسمى أيضا الهندسة ذات الانحناء السلبي الثابت. لقد أثبتت الأبحاث اللاحقة أن بولاي وغاوس قد توصلا إلى اكتشاف الهندسة الزائد ي ة القطع بصورة متزامنة مع اكتشاف لوباتشوفسكي وباستقلالية عنه. في سنة 1854 اقترح ب. ريمان Bernhard Riemann) في عمله المعنون [2] ":حول الفرضي ات التي تصل ح كأ سس لعلم الهندسة" مدخلا جديدا لفهم العلاقة المتري ة ي عم م فيه مفهوم هذه العلاقة في الحالة الإقليدي ة. فبدلاً من تعريف المتري ة وفقاً للعلاقة المعروفة في الفضاء الإقليدي والتي تكتب كما يلي: ds2 = (dx1)2 + …+(dxn)2 :ةمة التاليعم م ـال ي ةفقد اقترح العلاقة ا ds2 =   n ji jiij dxdxg 1, (2) تجدر الإشارة إ أن إقليدس على الرغم من عمله الضخم لم يل معضلة التشكيل المنطقي وتركيب المنظومة الهندسية بالشكل الذي يشفي غليل أبناء القرن العشرين وهذا أمر طبيعي ولكن الشوائب التي تتضمن تها "منظومته الهندسية" حيث يعود أحياا إلى الحدث والتصور البديهي قابلة للإصلاح وهذا ما ب رهن بالفعل لاحقاً ، حيث تمك ن هيلبت (David Hilbert 1862-1943) وفيلHermann Weyl 1885-1955) من الحل المنطقي التشكيلي لمنظومة الهندسة الإقليدية.

محمد يوسف الحجيريدhoujairi@hotmail.com فريق الدراسة والبحث في التراث العلمي العربي) -(الجامعة اللبنانية 3 حيث ترمز gإلى شكل تربيعي اختياري معر ف إيجابي . وقد كانت هذه المقاربة المقترحة من قبل ريمان مرتبطةً أصلاً بإشكالي ة المصادرة الثانية لدى إقليدس و القائلة بإمكاني ة مد المستقيم المنتهي إلى ما لا نهاية وفقاً لاتجاهه . فكيف يمكن أن ت فهم هنا كلمة "إلى ما لا نهاية ". يقول ريمان بهذا الخصوص : " تعل منا الملاحظة وبيقين كبير أن الفضاء الحقيقي ليس غير منته بل هو غير محدود". وقد أد ت أبحاث ريمان إلى ظهور الهندسة الاهليلجي ة حيث تنتفي مصادرة التوازي الإقليدي ة لعدم وجود الخطوط المستقيمة المتوازية في هذه الهندسة. و في هذه الهندسة تكون المسافات محدودةً (أي أن مصادرة إقليدس الثانية غير قائمة) ، ومجموع زوايا المثل ث يتجاو ز زاويتين قائمتين. وت عرف هذه الهندسة باسم ريمان أو وفقا لتسمية فيليكس كليين، هندسة إهليلجي ة أو اقصي ة القطع، وتسمى أيضا الهندسة ذات الانحناء الإيجابي. ع اها كليين الهندسة مكافئة القط(والتي س ي ةقليدوالإ ي ةن صورة الهندسات اللاإقليداكتملت في وقتنا الراه ى" هندسة سم ا ي ة م أصبحت مع فيليكس كليين حالات خاص و وفيها يكون الانحناء مساويا لصفر) وع م مت (ذات التأشيرة ي ةالخط ي ةالأشكال المتناظرة ثنائ 1, n-1) في الفضاء الإسقاطي ذي الأبعاد n . ومن الواضحأن هذه الصورة البالغة التجريد تلفت بشموليتها الانتباه إلى أمرين: 1- إن هذه النظرة التجريدي ة للكائنات الهندسي ة الـم كتشفَة ت في إلى حد كبير المسارَ التاريخي الكامن وراء اكتمال هذه النظري ة الرياضي ة وبلورتها، كما أنه ا ربم ا تطمس بشكل ما معالم الجهود المضنية التي ب ذلت على مدى ما يزيد عن الفي سنة للوصول إلى ما ت الوصول إليه. وهذا الأمر معروف جيداً في تاريخ العلوم ، فطالب رياضي ات عادي في وقتنا الحالي يستطيع ببساطة ودون عناء كبير أن يل معادلة جب ي ة من الدرجة الثالثة دون أن يدري أن وصول البشري ة إلى طريقة الحل هذه قد تتطل ب ألوف السنين!. 2- ،ة القطعة والناقصي الزائدي و الثلاثة المكافئة ي ةظم الهندسالن د وحدة نها تؤك إإذ ،دةموح ة النظر إن هذه حاسم على مها وهذا الأمر كان بمثابة رد هندسة إقليدس بل تعم لا تنفي أبداً ي ةالهندسات اللاإقليد ن أوهذا يعني هم تتمحور حول جة وكانت حجلهندسات اللاإقليدي مجموعة كبيرة من الفلاسفة والرياضيين الذين رفضوا فكرة ا بواسطة عدم مطابقة الهندسات المذكورة للفضاء الحقيقي الملموس الذي يمكن التعبير عن هندسته من وجهة نظرهم .لا غير ي ةقليدالهندسة الإ

محمد يوسف الحجيريدhoujairi@hotmail.com فريق الدراسة والبحث في التراث العلمي العربي) -(الجامعة اللبنانية 4 2-مراحل تطور الهندسات اللاإقليد ي ة عب العصور 300 ق.م إقليدس كتاب الأصول 200 ق.م-600 المفسرون الباحثون اليوانيون 800 -1400 المترجمون+الشارحون+الباحثون العرب 1500- 1700 المترجمون+الشارحون+الباحثون الأوروبيون 1700-1823 الرواد الأوروبيون الأوائل 1733 ساكيري إقليدس منق ح من الشوائب 1766 لامبت نظر ي ة المتوازيات 1794-1823 ليجاندر اصول الهندسة المؤسسون للهندسات الاإقليدي ة 1829 لوباتشيفسكي حول مبادئ الهندسة 1931 غوس مراسلات 1932 بولاي حول العلم المطلق للفضاء النتائج النهائي ة والتعميم 1854 ريمان حول الفرضيات التي تصل ح كأسس لعلم الهندسة 1872 كلي برامج إيرلنجن 1899 هيلبت أسس الهندسة

محمد يوسف الحجيريدhoujairi@hotmail.com فريق الدراسة والبحث في التراث العلمي العربي) -(الجامعة اللبنانية 5 الهندسة في أصول إقليدس كتاب منها بتحديدات المفاهيم يتوي مؤلف إقليدس "الأصول" على ثلاثة عشر كتابا. يبدأ كل المبهنات. تعالج الكتب الستة الأوَل و القضاياوينتقل بعدها إلى ،ثم يعرض الموضوعات والمصادرات ي ةالأساس الكتاب . يتوي مثلاً ي ةالثاني عشر والثالث عشر الهندسة الفضائو وتتناول الكتب الحادي عشر ،ويةتدسة المسالهن ست مصادرات وهي تشكل أساس تحديدا علاوة على تسع موضوعات و الأول من أصول إقليدس ثلاثة وعشرين وم التوازي.المتعلقة بمفهالمبهنات وذلك إضافة إلى مجموعة من ي ةالهندسة الإقليد التحاديد: يبدأ الكتاب الأول لإقليدس بعرض ثلاثة وعشرين تحديدا ، سوف نستعرض بعضها : 1- النقطة هي ما ليس له أجزاء . 2- الخط هو طول دون عرض. 3- أطراف الخط هي نقاط . 4- الخطالمستقيم هو قائم بالتساوي على نقاطه. 5- السطح هو ما ليس له غير الطول والعرض 6- أطراف السطح هي خطوط. 7- السطح المستوي هو سطح قائم بالتساوي على كل خطوطه المستقيمة. … 23- هما إلى ما لانهاية ، عند مد المستوي المتوازيان هما خطان مستقيمان موجودان في نفس السطح خرىولا من أ ما لا يلتقيان لا من جهة نه إخرى فأ من من جهة و [ 13] . ا تستعمل مفاهيم تعتبها ر أكيد للفضاء الملموس وأشيائه فإنه من تصو ن هذه التحديدات تأتلا شك ة بالمعنى ديد ليست فعلي اهذه التح ولذلك فإن .هذه المفاهيم تفتقر إلى التحديد الدقيق أيضا ة في حين أن لي أو ة." لكائنات هندسي وصف "عن في الواقع لى الحدس وتعب عا ترتكز إنم ،المطلق ات(أو المفاهيم المشتركة)الموضوع : 1- المقادير المساوية لمقدارمشترك متساوية فيما بينها. 2- إن إضافة مقادير متساوية إلى مقادير متساوية أخرى يؤدي إلى الحصول على مقادير متساوية . 3- إن اقتطاع مقادير متساوية من مقادير متساوية أخرى يؤدي إلى الحصول على مقادير متساوية . 4- إن إضافة مقادير متساوية إلى مقادير غير متساوية يؤدي إلى الحصول على مقادير غير متساوية.

محمد يوسف الحجيريدhoujairi@hotmail.com فريق الدراسة والبحث في التراث العلمي العربي) -(الجامعة اللبنانية 6 5- إن اقتطاع مقادير متساوية من مقادير غير متساوية يؤدي إلى الحصول على مقادير غ متساوية. 6- المقادير التي تمثل ضعفي مقدار ما تكون متساوية فيما بينها. 7- المقادير التي تمثلأنصافاً لمقدار ما تكون متساوية فيما بينها. 8- المقادير التي تتطابق فيما بينهامتساو ية. 9- الكل اكب من الجزء . مصادرات إقليدس نقطة ثانية. إلى أي نقطة يمكن أن يم د مستقيم : من كل المصادرة الأولى إلى ما لا نهاية. للمد مستقيم قابل : كل المصادرة الثانية دائرة. (رسم)إدارة كن كان يم ب عد وبأي تكان نقطة أي على: الثةالمصادرة الث : كل الزوايا القائمة متساوية فيما بينها. المصادرة الرابعة واحدة من القاطع ن على جهة اتن الداخلي االزاويت تمستقيمين وكان ع مستقيم ط: إذا ق المصادرة الخامسة اقل من زاويتين قائمتين إذا جم عتا ، فإذا أ خرج المستقيمان بغير حد يلتقيان في الجهة التي يكون فيها مجموع الزاويتين اقل من زاويتين قائمتين. ملاحظات عن المصادرة الخامسة "محاولة بالحقيقة حول تمحورتالتي المتوازيات ي ةالأبحاث حول نظر ن أيج مع مؤر خو الرياضيات على إن التعقيد الذي رافق صياغة هذه و ا واستثنائيا في تاريخ الهندسة. لعبت دورا هام قد، مصادرة إقليدس "نابره هذه ن إ، ومهما يكن، فمتأخ رأضيفت إلى الأخريات في وقت قد على أنها ربما يدل نظيراتهاالمصادرة بالمقارنة مع بالمثلثات الموجودة في الكتاب الخاص ة القضايا لبهان عدد من ينضروري يبقيان ، لها مكافئ نص المصادرة أو أي يبدو أن الأصول. و مؤل فمن هذا الجزء مبهنة فيثاغورس التي تتوجويندرج هذا الأمر على صول، الأول من الأ بساطة، في القرن الرابع قبل الميلاد، عن مصادرة اكثر قد بحثوا وفق بعض المعطياتأسلاف إقليدس أنفسهم أرسطو، أنه في ايامه، وحت قبل ذلك، سعى وفق ما ذكرهيمكننا الاعتقاد، و المتوازيات. ي ةلتشكل القاعدة لنظر أن يكون مستبعداً هذه، أو تلك، من القضايا المكافئة للمصادرة الخامسة. وليس إلى إقامة الدليل علىعلماء م عرضا خاصا لإحدى هذه القضاياأرسطو نفسه قد قد ] 3 [ . رة الخامسة تاريخاً حافلاً ، فلقد حاول الرياضيون على مدى اكثر من كما نرى تملك المصاد 2400 سنة تقريباً إثباتها استناداً إلى المصادرات الأربع الأ وَل . ومن الملفت للنظر :

محمد يوسف الحجيريدhoujairi@hotmail.com فريق الدراسة والبحث في التراث العلمي العربي) -(الجامعة اللبنانية 7 أي ي ةالمستقيم الوارد ذكره في المصادرة الأولى تصبح المصادرة الرابعة غير ضرور ي ةأحاد فرضناه إذا ن أ. أولاً استناداً إلى باقي المصادرات. ة للاستنباطقابل ي ةقضا تصبح أنه من هندسته دون استعمال المصادرة الخامسة. قضي ةوعشرين ثمان لإقليدس نفسه قد برهن أو ثانياً. إن بساطة المصادرات الأخرى. بالمقارنة معثالثاً. صعوبة المصادرة الخامسة أن المصادرة الخامسة هي في في الثة الرياضيين على ما يبدو إلى الشك لقد دفعت الملاحظتان الأولى والث ن أأي أنها قابلة للبهان استناداً إلى المصادرات الأخرى. أما الملاحظة الثانية فإنما توحي وك قضي ة،واقع الأمر ل الخروج من حالة ب استعمال المصادرة الخامسة على أمهذا الأمر وحاول أن يتجن في إقليدس نفسه كان يشك محاولة برهان إلى بجلاء الأمر بشكل ما. لقد دفعت هذه الأمور كما يعتقد البعض من جاء بعد إقليدس الشك لنا فإذا تغاضينا عن الأخطاء المرتكبة أثناء الباهين وحل !لات باءت بالفشلاو المح المصادرة الخامسة ولكن كل ما ي عرف في علم الوقوع في فخ ي ةقد كانوا ضح من عملوا في هذا الأمر المحاولات المذكورة فسوف نجد أن اكثر منهم) أحكاما تعادل ة غير منظور بصورة قد استعملوا بشكل ما ( "المصادرة على المطلوب"، حيثالمنطق باسم امسة:المصادرة الخامسة لإقليدس. لنستعرض بعض الأحكام المعادلة للمصادرة الخ ي ةمن وجهة النظر المنطق 1-المعلوم (اقليدس). لا غير يوازي المستقيمَ واحد معلوم مستقيم يمر عب نقطة خارجة عن مستقيم 2-مشترك يتقاطعان.(الطوسي على قاطع المائل والمستقيم المتعامد المستقيم -ساكيري) 3-يوجد مثلثات متشابهة غير متساوية (ساكيري 4-(غوس) هذه المساحة كانتمهما ي ةيار ساحة اختم له يوجد مثلث 5-لزاويتين قائمتين(ساكيري). مساو ي ةمجموع زواياه الداخل يوجد مثلث 6-مجموع زوايا رباعي الأضلاع يساوي أربع زوايا قائمة(ساكيري 7-.(إقليدس) التعد ي والتماثل ثنائية تعر ف خاص يتيَ التوازي هو علاقة 8- الزاوية المذكورة (الجوهرييقطع جانبيَ مستقيم داخل زاوية يمر عب كل نقطة موجودة -ليجندر). 9-المستقيمان المتوازيان يتباعدان عن بعضهما البعض بالتساوي (بوسيدون -.ابن الهيثم) 10-متوازين محدودة (بروكلس مستقيمين المسافة بين خط -.ابن الهيثم) 11-.ساوي نصف الوتر (الجوهري)المثلث القائم الزاوية ي منص ف وتر 12-(ابن الهيثم)المستقيم مستقيمان متقاطعان لا يمكن أن يكوا موازيين لنفس الخط 13-خر ايضا(بروكلس)نه يقطع الآإأحد مستقيمين متوازيين ف قطع مستقيم إذا 14-الزاوية القائمة تحاط بنصف دائرة .(طاليس 15-بالتساوي عن مستقيم ما والموجودة من نفس الجهة من المستقيم لنقاط المتباعدةل الهندسي كانا شكل مستقيما موازيا.(بوسيدونيالمذكور -ابن الهيثم)... ...

محمد يوسف الحجيريدhoujairi@hotmail.com فريق الدراسة والبحث في التراث العلمي العربي) -(الجامعة اللبنانية 8 3-المصادرة الخامسة ا- محاولات الشارحين والباحثين اليوانيين الذين أتوا بعد إقليدس محاولة بوسيدون (القرن الأول قبل الميلاد) د اقترح بوسيدون لق [6,13] تعريفاً جديداً للمستقيمات المتوازية فقد اعتب مستقيمين موجودين في مستو واحد متوازيين إذا كانت المسافات بين كل نقاط الأول والمستقيم الثاني متساوية. وعندها يصبح بمقدورا أن نبهن مصادرة إقليدس الخامسة. ولكن هذا التحديد يتوي بشكل غير مرئي على الافتراض التالي: كل نقاط المسطح الذي يتوي على المستقيم والمتباعدة عن هذا المستقيم بنفس المسافة والواقعة منه من نفس الجهة تشكل مستقيماً. وبذلك يكون بوسيدون لم يبهن المصادرة الخامسة إنما استبدلها بأخرى اكثر غموضاً وقد بقي موضوع التحديد الذي اقترحه بوسيدون مفتوحاً. محاولات بروكلس (410-485) لقد حاول بروكلس [6, 13] في مؤلفهشروحات الكتاب الأول من أصول إقليدس" أن يبهن المصادرة الخامسة انطلاقا من المصادرات الأخرى. وذلك استنادا إلى ما قام به إقليدس بالذات حيث برهن (الحكم 17 :) "إن مجموع زاويتين اختيا ريتين من أي مثلث كان، يكون دائما اقل من قائمتين". وقد حاول بروكلس في واقع الأمر أن يبهن الحكم العكسي : لنفرض كما هو مبين على الرسم(" 1) أن +  < 2d : ، أي أن مجموع الزاويتين اقل من قائمتين. لنبهن أن D' يقطعD''. لنخرج من النقطة A مستقيماًD''' موازياً ل D' ولنختر علىD'' نقطةB ونُ رج منها D' A D''' B D'' C   رسم 1)

محمد يوسف الحجيريدhoujairi@hotmail.com فريق الدراسة والبحث في التراث العلمي العربي) -(الجامعة اللبنانية 9 مستقيماً عمودياً علىD'''. عندما تبتعد النقطةB عن النقطةA فان المسافة منها إD''' تتزايد في حين أن المسافة بين الخطين المتوازيين D' وD''' ثابتة ولذلك فإن D'' يقطع حتماً المستقيم D' علىنقطة تقاطع C." بروكلس قد ارتكز في برهانه بشكل واضح على الموضوعة التالية: " إذا م د المستقيمان ن أنلاحظ هنا م نتقى مقدار منته أي تصبح أكب من يهاالنقاط على ضلع بين المسافة ن إان لزاوية ما إلى ما لا نهاية فالمكو ".سبقاً م لكن بشكل شبه خفي على الموضوعة التالية: " المسافة بين متوازيين محدودة"ه قد ارتكز و ن أكما ي ةفالموضوعة الأولى في الواقع تستبعد إمكان ي ةن بروكلس يستخدم بشكل مبط ن خصائص إقليدإوبذلك ف إنه ا . ي ةندسة الإقليداله ي ةالقطع وبذلك لا يبقى إلا إمكان ي ةبينما تستبعد الثانية الهندسة زائد ي ةالهندسة الاهليلج !!"مصادرة على المطلوب"مجر د ب- محاولات الشارحين والباحثين العرب يوشكيقيتش و يقول روزنفيلد ] 13 [ :" وفي الشرق العربي، يبدو أن عباس الجوهري، وهو معاصر للخوارزمي، كان أول من سجل مأخذا على المصادرة الخامسة. ففي كتابه : " إصلاح لكتاب الأصول " افترض عباس الجوهري أن ه بالإمكان دائماً ، عب نقطة موجودة داخل الزاوية، إخراج خط مستقيم يقطع ضلعي الزاوية . وفيما بعد، استعان عدة هندسيين بهذه الفرض ي ة لإقامة الدليل على المصادرة الخامسة. والواقع أن هذ ه الفرض ي ة مكافئة هندسي ا للمصادرة الخامسة" ، انهامصادرة إقليدس وحاولوا بره عملوا علىخر تاريخ العلم العربي بمجموعة كبيرة من العلماء الذين يز " بعد الجوهري ببضع عشرات من السنين اقترح ثابت بن قرة برهانين مختلفين للمصادرة الخامسة. نجد أحد الزاويتين اللتين في جهة ير صمين فكتاب في أنه إذا وقع خط مستقيم على خطين مستقي"البهانين في مؤلفه : مقالة في أن ". ونجد البهان الآخر في كتابه: "خرجا في تلك الجهة التقياأ الخطين إذا من قائمتين فإن واحدة اقل من القائمتين التقيا." (الكلام لروزنفيلد و يوشكيقيتش خرجا إلى زاويتين اقل أ الخطين إذا ] 13 [ ) ثر على المصادرة الخامسة ومن أبرزهم : ابن الهيثم (رة عمل علماء ك وبعد ثابت بن ق 950-1040) وعمر الخيام(1048-1131 ) ونصير الدين الطوسي1201-1274) وسوف نتوقف عند بعض ما قام به ابن الهيثم وعمر الخيام. (محاولة ابن الهيثم 950-1040) س" مفهوم "الحركة البسيطة" الذي ارتكزت عليه دراسة يتبنى ابن الهيثم في مؤلفه " شرح مصادرات إقليد ثابت بن قرة. ويبهن أن"المكان الهندسي -باللغة المعاصرة" لطرف الخط العمودي الذي يبقى طرفه الآخر على نفس الخط، يمثل خطا مستقيما.

محمد يوسف الحجيريدhoujairi@hotmail.com فريق الدراسة والبحث في التراث العلمي العربي) -(الجامعة اللبنانية 10 د استخدم لامبت و"لكن تجديد ابن الهيثم الفعلي مرتبط بإدخاله لرباعي أضلاع فيه ثلاث زوايا قائمة وق مثل هذا المضلع الرباعي فيما بعد في محاولة لبهان المصادرة الخامسة"(الكلام لروزنفيلد و يوشكيقيتش [13] والعشرين دون ةالتاسع ي ةالقضمن ابن الهيثم والخيام والطوسي على ما يبدو أن يبهنوا لقد حاول كل استدعى إدخال رباعي أضلاع اختلفت خصائصه من حالة إلى الرجوع إلى المصادرة الخامسة وهذا الأمر قد أخرى. لنستعرض بعض ما قام به ابن الهيثم: يأخذ ابن الهيثم رباعي أضلاع ABCD له ثلاث زوايا قائمةA, B, C، وياول أن يبهن أن الزاوية الرابعة قائمة أيضا. يبهن ابن الهيثم أولا إن DC = AB لنفرض إنC′ وD′ هما النقطتان المناظرتان لA وB بالنسبةإلى لمستقيم AB). عندما تتحرك القطعة [D′C′] محافظة على تعامدهاعلى المستقيم C′C) تبقى النقطةC′ على القطعة[C′C] ، وتأتى القطعة[C′D′] لتتطابق مع[CD] عندما تصبح النقطةC′ فوقC كما إنها تتطابق مع[BM] عندماتكون C′ فوقB. في هذه الحالة تتحرك النقطة D′ على خط مستقيم الأمر الذي يعني إن النقاط الثلاثM, D′ وD موجودة على نفس المستقيم ولكن من جهة اخرى النقاط الثلاث A , D ′ وD موجودة على نفس المستقيم أيضا فإذاً النقطة A هي النقطةM . ولذلك فان DC = AB ن أيستنتج ابن الهيثم بالمقارنة مع ما ورد من برهان ومن AD = BC وهكذا فان المثلثACD وCAB متساويان لان كل أضلعهما متساوية وبالتالي فان الزاوية D مساوية للزاوية B أي إنها زاوية قائمة يرسم طرف الخط المستقيم سيطة": " يستعمل ابن الهيثم هنا "المصادرة" التي سبق وذكراها عن "الحركة الب ي ةإقليد ي ةفي واقع الأمر خاص ي ةالعمودي الذي يبقى طرفه الآخر على نفس الخط خطا مستقيما". وهذه الفرض معادلة للمصادرة الخامسة. M B A A C D D ′ C′

محمد يوسف الحجيريدhoujairi@hotmail.com فريق الدراسة والبحث في التراث العلمي العربي) -(الجامعة اللبنانية 11 وقد اقترح ابن الهيثم في مؤلفه: "كتاب حل شكوك إقليدس في الأصول" "مصادرة" مكافئة للمصادرة ثر بساطة منها: " لا يمكن لمستقيمين متقاطعين أن يكوا موازيين لنفس المستقيم".الخامسة واك من الواضح إن هذه "المصادرة" معادلة لحكم بروكلس الذي سبق أورداه والذي يمكن التعبير عنه كما يلي: " إذا قطع مستقيم ما أحد المستقيمين المتوازيين فانه يقطع الآخر". ئج ابن الهيثم اكثر ما تحتمل ولكننا نلفت النظر الى الامور التالية:لا نود ان نحمل نتا 1"-على "الحركة البسيطة" تحد من ضرورة التعاطي مع مفهوم اللانهاية ي ةان مصادرة ابن الهيثم المبن المصادرة الخامسة. ي ةالذي غالبا ما نصادفه عند رياضيين آخرين عملوا على حل إشكال 2"-ة ابن الهيثم في البهان تلامس مفهوم الانسحاب الخطي الذي يمثل حالة بسيطة وخاصة ان طريق ي ةمن التحويلات الإقليد (محاولة عمر الخيام 1048-1123) أحكام ساكيري الأربعة الأولى مطابقة للأحكام التي وردت عند الخيام في لقد برهن خليل جاويش أن لخيام قبل إلى ات كتاب إقليدس"وان الحجج المستعملة في الحكم الثالث تعود مؤلفه " شرح ما اشكل من مصادرا من سبقه في براهينعمل عمر الخيام قد رفض قطعيا مفهوم "الحركة البسيطة" الذي است سكيري. من المعروف أن اقصة ومن الضروري ةي الإقليدالهندسي ة د أن المنظومة ه أك ن إكثر من ذلك فأوانه قد انتقد برهان ابن الهيثم. و إضافة المصادرتين التاليتين: 1"-قسم إلى ما لانهاية وهي غير مكونة من جزيئات غير قابلة للقسمة"المقادير ت 2"-"المستقيمان المتقاطعان ينفرجان ويتباعدان بابتعادهما عن راس زاوية تقاطعهما عمر الخيام في مؤلفه " شرح ما أشكل من مصادرات كتاب إقليدس" أسباب الخطأ الذي وقع فيه وقد رد علماء لاحقون في برهان المصادرة الخامسة إلى عدم التزامهم بمبادئ أسطو وقد عدد الخيام هذه المبادئ: (1) يمكن تقسيم المقادير إلى مالا نهاية أي أنها لا تقسم إلى أجزاء لا انقسام ي ة؛ (2) يمكن رسم مستقيم الى ما لا نهاية؛ (3) المستقيمان المتقاطعان ينفرجان ويتباعدان بابتعادهما عن راس زاوية تقاطعهما؛ 4)المستقيمان المتقاربان يتقاطعان ومن غير الممكن لمستقيمين متقاربين أن يتباعدا في نفس اتجاه تقاربهما؛ ( 5) يمكن مضاعفة المقدار الأصغر من بين مقدارين غير متساويين ومحدودين بحيث يتجاوز المقدار الحاصل المقدارَ الأكبَ. والعشرين دون استخدام المصادرة الخامسة، قام عمر الخيام بدراسة رباعي ةالتاسع ي ةالقضن ابهدف بره أضلاع ABCD حيث الجانبانBC]AD]AB]ف ان يبين أن الزاويتين C وD قائمتان. لقد برهن الخيام القضايا التالية: ي ةالقض -1 : لنفرض أن القطعتBC]AD]AB]C والزاوية D متساويتان

محمد يوسف الحجيريدhoujairi@hotmail.com فريق الدراسة والبحث في التراث العلمي العربي) -(الجامعة اللبنانية 12 ي ةالقض -2 :لنفرض أنABCD كماالقضي ة -1 ولنفرض أيضا أنO هي وسط القطعةAB] [OM]AB ]علىالنقطة O . فإذاMD[ =]CM]OM]CD] ي ةالقض -3 : إذا توفرت شر وط القضي ة -2 تكون الزاويت C وD قائمت تانالقضيبهن ت 1 و2 ببساطة ودون استعمال المصادرة الخامسة فبلغة حديثة ي قال OM) عمود منصف ل [AB]إن التماثل العمودي بالنسبة إلى ( OM) يو لBC]AD]يو ل C إD. A D C B O M A D B C A D C B O M M O’ B’ A’ P N

محمد يوسف الحجيريدhoujairi@hotmail.com فريق الدراسة والبحث في التراث العلمي العربي) -(الجامعة اللبنانية 13 ي ةالقضلنستعرض كيف يبهن الخيام -3 : يبدأ بمد [ OM] بطول مساوMO′= OM ويرسم المستقيم العمودي على OO′ علىالنقطة O′. يقطع هذا استقيم (BC) وAD) بالنقطتB′ وA′. ويبهن العلاقة CB′=DA′ ومنها وما سبق يستنتج العلاقةA′O′ = O′B′. التالية: الزاويتان المتساويتان ي ةويطرح عمر الخيام عندها الفرض BCD وADC حادتان ومن ثم يفترض انهما منفرجتان وفي الحالتين يصل إلى تناقض، الأمر الذي يج عله يستنتج أن الزاويتين BCD وADC قائمتان لنتناول فرض ي ة الزاوية الحادة. بواسطة "الدوران حول ( C D)" أي التماثل العمودي ي ؤتى ب MO′] [MO]A′B′) إAB) وبالقطعةA′B′]PN]B′C M هي اكب من الزاوية الحادة BC M والطولA′B′ يساويPN ولكنه اكب منAB . وهكذا لاحظ الخيام أن المستقيمBC) و (AD) العموديين علىAB) يتباعدان من جهة منAB) ولكن وفقا لحجة التماثل فانهما سيتباعدان أيضا من الجهة الأخرى. وبنفس الطريقة، إذا كانت الزاويتان BCD وADC منفرجتين يمكن أن نبهن أن الطول A′B′ اكب من AB ولذلك فان المستقيمانBC) وAD) سيتقاربان من جهة ومن الأخرى من AB.) ويستنتج عمر الخيام أن الزاويتان C وD قائمتين لان الحالتين الحادة والمنفرجة تقودان إلى تناقض مع الفكرة القائلة: "لا يمكن لمستقيمين أن يتباعدا الواحد عن الآخر من جهتين معا ولا أن يتقاربا من جهتين معا. من الملاحظ أن الخيام قد استعمل في برهانه عدا عن الفكرة السابقة وجود النقطتين B′ وA′ وهذا الأمر يصبح مبرا إذا اعتبا أن المسافة بين متوازيين لا تتغير. ي ةلهيثم قد عملوا على حل إشكالتجدر الإشارة إلى أن مجموعة كبيرة من العلماء العرب غير الخيام وابن ا المصادرة الخامسة ومنهم البيروني والكندي وحسام الدين السالار( 1262 م) وغيرهم ولكن أشهرهم هو نص الدين الطوسي "الذي اعمل فكره في الخطوط المتوازية وذلك من خلال عملين، الأول : "الرسالة الشافية عن شك في الخطوط المتوازية" المكرس خص يصا لهذه النظرية، والثاني: شرح إقليدس، وهذا الأخير هو في الحقيقة عرض ل أصول إقليدس مع زيادات مهمة عائدة للمؤلف. وفي كل من المؤلفين استخدم الطوسي، كالخيام، رباعي أضلاع ساكيري ودرس الفرضيات الثلاثة المتعلقة بزواياه العليا". "(الكلام لروزنفيلد و يوشكيقيتش ] 13 [ ) يقول روزنفيلد و يوشكيقيتش ] 13 [ : " من خلال أعمالهم في نظر ي ة المتوازيات، مارس علماء الرياضيات العرب تأثيرا مباشرا على أعمال نظرائهم الأوروبيين في الميدان نفسه. فبمراجعتهم كتاب المناظر لابن الهيثم، قام العالم البولوني ويتلو(Witelo) في القرن ال ثالث عشر بالمحاولة الأوروبي ة الأولى لبهنة مصادرة المتوازيات، وهذه المحاولة مستوحاة من دون شك من مصادر عرب ي ة. وفي القرن الرابع عشر، أعطى ليفي بن جرسون والفونسو الاسباني، براهين تصب مباشرة في سياق براهين ابن الهيثم، وقد سبق أن أشرا إلى أن شرح إقليدس المن سوب زعما إلى الطوسي قد نشط دراسات ج. واليس وج. ساكيري المتعلقة بنظر ي ة المتوازيات. ولا شك في ان التطابق في طرح

محمد يوسف الحجيريدhoujairi@hotmail.com فريق الدراسة والبحث في التراث العلمي العربي) -(الجامعة اللبنانية 14 الفرضيات المتعلقة بزوايا رباعي الأضلاع التي طرحها العلماء الشرقيون في القرون الوسطى من جهة، وكما طرحها لته كما إن له أهميته البالغة.".ساكيري ولامبت من جهة أخرى، هو تطابق له دلا ج - محاولات المترجمين والشارحين والباحثين الأوروبيين ( محاولة واليسWALLIS 1616-1703) لقد طرح واليس الموضوعة التالية : يوجد لكل شكل هندسي شكل آخر ذو حجم اختياري يكون متشابه معه" لنستعرض برهانه: لنفرض إن المستقيمين D وD’ يقطعان المستقيم D” بالنقطتA وB ولنفرض أن مجموع الزاويت الداخليتين a وb اقل من قائمتين. لنبهن إنD وD’ يتقاطعان. لنرسم من النقطة AمستقيماD1 بشكل أن يشكل المستقيمان D1 وD’ مع المستقيمD” زوايا مشاركة متساوية. من الواضح إن الخط D1 موجود داخل الزاوية المجاورة للزاوية a . لنحرك المستقيم ’ D بشكل متصل على طول القطعةAB] ومن D” مساوية دائما لb .قبل أن يتل المستقيم موضعه النهائي D1 فانه بالضرورة يجب أن يقطع المستقيم D وهذا التقاطع يددمثلثا AB1C1 حيث تساوي الزاويتان في النقطت A وB1 تباعاa وb. لنرسم الآن على القطعة [AB]ABC متشابها معAB1C1. سنرى أن المستقيم D و’ D يتقاطعان بالنقطةC. في واقع الأمرلقد استعمل واليس موضوعة ابسط من الموضوعة سابقة الذكر وهي : A B1 B C1 b b a b D D’ D1 D”

محمد يوسف الحجيريدhoujairi@hotmail.com فريق الدراسة والبحث في التراث العلمي العربي) -(الجامعة اللبنانية 15 اة، بمقدورا أن نرسم مثلثا مشابها لمثلث معطي" ومن الملاحظ أيضا إن أسلوب البهان "على قطعة معط عند والس مشابه لطرق ابن الهيثم من حيث استعمال الحركة البسيطة. وذلك مع العلم إن موضوعة التشابه هي يدس.نها لم ت صادف سابقا لدى المعلقين على إقلإعلى ما يبدو فكرة واليس وليس غيره إذ لقد عرض واليس بعد ذلك في العام 1594 برهاا لنصير الدين الطوسي مستوحى من مؤلفاته وقد كان هذا البهان قريبا من برهان عمر الخيام ولكنه استعمل الموضوعة الأساس ي ة التالية: الاتجاه"" اذا مال مستقيمان، أحدهما بالنسبة للآخر في اتجاه ما فانهما سيتابعان ميلهما وفي نفس تعتب فكرة واليس عن التشابه الوحيدة الجديدة في هذه الفترة التي سبقت ساكيري. ح - محاولات "الرواد" الأوروبيين الأوائل. لقد وردت كلمة "رواد" في كتابات بيلترامي( Beltrami) في العام1899 في ملحوظة عن " الرواد الذين سبقوا ليجاند ولوباتشيفسكي" وذلك اثر اكتشافه أعمالاً لساكيري(1667 - 1733) بقيت مجهولة طيلة مائة وخمسين عاما. من الأكيد انه ينبغي لساكيري ولامبت( 1728-1777،Lambert) اللذين عاشا في الفترة المبينة أن يذهبا ابعد من سبقهم في الاقتراب من الهندسة الاإقليد ي ة. وبالفعل فانهما قد تمكنا من صياغة العديد من الأحكام القائمة في الهندسات الاإقليد ي ة بدقة ملفتة للنظر، وذلك دون استعمال ظاهر أو باطن لموضوعات تتضمن المصادرة الخامسة أو تعادلها. لقد أتت النتائج التي توصل إليها هذان الرياضيان بعيدة كل البعد عن إدراكهما الحسي الأمر الذي المصادرة الخامسة ، اضافة إلى تمسكه "الحسي" ي ةد الراسخ لساكيري بصدقجعلهما يشكان بها. فمثلا، الاعتقا الزاوية الحادة كاذبة بالمطلق لأنها متنافرة مع ي ةبهندسة إقليدس وبالأخص تصوره للمستقيم، جعله يكتب " إن فرض .ي ةطبيعة الخط المستقيم" وذلك رغم انه قد تعذر عليه أن يعثر على تناقض في هذه الفرض الزاوية الحادة، استطاع ان يبهن ان مساحة المثلث متناسبة مع الفارق ي ةاما لامبت الذي تناول فرض الزاوي ( Â2 - Â3 2 - Â1 –)، ومن هنا يستنتج انه يوجد مقياس مطلق للاطوال، كما هو موجود للزوايا. ولكن لامبت كما ساكيري يعتب الهندسة المدروس ة في الرياضيات ما هي إلا نموذج للفضاء الفيزيائي. وهكذا ف إن ه يرتكز إلى مقولة عدم وجود مقياس مطلق للفضاء الفيزيائي لكي يدحض فرض ي ة الزاوية الحادة وذلك دون أن يصادف أي تناقض داخلي اتج عن هذه الفرض ي ة. تلفة عن هندسة لق هندسة مخبخ كفيلةولكن لامبت أدرك أن منظومة معينة غير متناقضة من الموضوعات سنة إثباتها تمكن بلترامي من تيال ةالتالي المبهنةالفضاء الفيزيائي. وقد صاغ 1868 : ل لك نصف قطر مساو تان هندسة الزاوية الحادة هي هندسة على الكرة ال i (الوحدة التخيل ي ة)

محمد يوسف الحجيريدhoujairi@hotmail.com فريق الدراسة والبحث في التراث العلمي العربي) -(الجامعة اللبنانية 16 اما ليجاندر1794-1823 Legendre) فقد حاول في مطلع القرن التاسع عشر أن يبهن المصادرة الخامسة، ومؤلفاته تحتوي على العديد من هذه الباهين غير الدقيقة بالطبع. محاولات ساكيري (1) (1667-1733 :) المتوازيات في مؤلفه المعنون :"إقليدس منقح من كل الشوائب( ي ةلقد درس ساكيري إشكال Euclide lavé de toutes taches-1733)". يفترض ساكيريأن أول ثمانية وعشرين حكما من الأصول صحيحة ومن ثم يأخذ رباعي أضلاع عمر الخيام وكما سبق وذكرا، هو رباعي أضلاع ABCD حيث الجانبانBC]AD ] عموديان علىAB] دون استنباطرباعي الأضلاع المذكور أو الإشارة إلى مصدره. هن ساكيري تساوي الزاويتين يب C وD . ويطرح ثلاث فرضيات مكنة 1-الزاوية الحادة : ي ةفرض C = D وهي أقل من زاوية قائمة 2-الزاوية القائمة : ي ةفرض C = D وهي تساوي زاوية قائمة 3- -الزاوية المنفرجة : ي ةفرض C = D وهي اكب من زاوية قائمة فإنه يبهن انه إذا كانت إحدى فرضياته صادقة في رباعي أضلاع فإنها صادقة في أي رباعي ومن ثم أضلاع آخر. ومن ثم يصل على النتائج التالية: الزاوية المنفرجة ي ةفرض يبهن ساكيري ما يلي: في حالة الزاوية المنفرجة وحالة الزاوية القائمة، المستقيم العمودي على مستقيم ما ستقيم الذي يقطعه تحت زاوية حادة يلتقيان.والم (1) تجدر الإشارة إلى إن نتائج لامبيرت 1766) فيما يتعلق بالمصادرة الخامسة أتت مطابقة لنتائج ساكيري A D B C A C B B1 B2 M N Bn C1 C2 Cn